徐晓琴

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)



极体p平均宽度最值问题的存在性

徐晓琴

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

函数在凸体上取最值的研究已经取得了一系列的成果,对于极体而言,是否也有相关结论呢？第一部分介绍了前人在凸体K上的研究,并给出了凸几何中相关知识点的定义.记K∘为K的极体,第二部分证明了研究极体K∘的p平均宽度最值问题是有意义的；p<0时,K∘的p平均宽度取最小值,0

凸体；极体；p平均宽度；存在性

1 引言

设μ是单位球面Sn-1上的非负伯雷尔测度,如果对于每一个θ∈Sn-1,满足：

其中〈u,θ〉表示u,θ的内积,则称雷尔测度μ在Sn-1上迷向[3-7].

Petty曾研究过最小表面积问题[8],对于Rn中的凸体K,K取最小表面积的充要条件是K的表面积测度迷向,即：

其中:Sn-1表示单位球面；dS(K,·)表示K的表面积测度；S(K)表示K的表面积,且S(K)=S(K,Sn-1).

一个精典的例子是最小平均宽度问题[9],对于Rn中的凸体K,定义平均宽度函数W(K)

其中：K的支撑函数hK(u)=max{〈u,v〉∶v∈K},dσ是Sn-1上旋转不变的概率测度.

在SL(n)作用下凸体K取得最小平均宽度(即∀T∈SL(n),有w(K)≤w(TK)),当且仅当K的平均宽度测度迷向,也即:

另一个例子是最小p平均宽度问题[10],对于Rn中的凸体K,定义p平均宽度函数wp(K)

在SL(n)作用下凸体K取得最小p平均宽度(即对任意的T∈SL(n),有wp(K)≤wp(TK)),当且仅当K的p平均宽度测度迷向,也即:

本文第一部分介绍了K取最小p平均宽度的充要条件是p平均宽度测度迷向；那么对于K的极体K∘而言,研究p平均宽度的最值问题是否有意义呢？文章第二部分证明了研究极体K∘的p平均宽度最值问题是有意义的.

2 最值的存在性

定义1 设X⊂Rn,X的极体……