赵建红

(丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)



关于椭圆曲线y2=qx(x2+32)的正整数点

赵建红

(丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)

设q为无平方因子的正奇数，q的任意素因子qi(i∈Z+)都满足qi≡5(mod 8)，主要利用同余的性质、Legendre符号等证明了y2=qx(x2+32)无正整数点．

椭圆曲线；正整数点；同余；Legendre符号

1 引言及相关结论

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=qx(x2+a),q,a∈Z+的整数点问题，目前主要结论为：a=1时文献[1-5]已进行了一些研究；a=2时文献[6-10]已进行了一些研究；a=4时，文献[11]已进行了一些研究；a=64时文献[12]进行了一些研究．

本文给出了a=32时椭圆曲线(1)的正整数点的情况．

2 重要引理

引理1[6]对于素数p，方程X2-2p2Y4=1,其中X,Y∈N+仅当p=2和3时分别有解(X,Y)=(3,1)和(17,2)．

3 相关定理

定理1 如果q为无平方因子的正奇数，q的任意素因子qi(i∈Z+)都满足qi≡5(mod 8)，则椭圆曲线

y2=qx(x2+32)

(1)

无正整数点.

证明 设(x,y),x,y∈Z+是椭圆曲线(1)的正整数点，因为q是奇素数，故由椭圆曲线(1)知：q|y，设y=pz，z∈Z+，将其代入椭圆曲线(1)式得：qz2=x(x2+32)

(2)

因为gcd(x,x2+32)=gcd(x,32)=1或2或4或8或16或32，故式(2)可分解为以下6种情况：

情形ix=ma2,x2+32=nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+；

情形iix=2ma2,x2+32=2nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+；

情形iiix=4ma2,x2+32=4nb2,z=4ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形ivx=8ma2,x2+32=8nb2,z=8ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形vx=16ma2,x2+32=16nb2,z=16ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+;

情形vix=32ma2,x2+32=32nb2,z=32ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+.

下面分别讨论这6种情形下椭圆曲线(1)的正整数点的情况.

情形i将x=ma2代入x2+32=nb2,得:

m2a4+32=nb2

(3)

(i)n>1时，n中至少含有一个素因子qj，j∈Z+由题意得qi≡5(mod 8).对式(3)两边同时取模qj，得

(ma2)2≡-32(modqj)

(4)

(ii)n=1,m=q此时式(3)成为q2a4+32=b2，两边同时取模q，得：

b2≡-32(modq)

(5)

情形ii将x=2ma2,x2+32=2nb2得：

2m2a4+16=nb2

(6)

(i)n>1时，n中至少含有一个素因子qj，j∈Z+,由题意得qi≡5(mod 8).对式(6)两边同时取模qj，得2m2a4≡-16(modqj)，则有m2a4≡-8(modqj)，即：

(ma2)2≡-8(modqj)

(7)

(ii)n=1时，m=q,此时式(6)成为： 2q2a4+16=b2

(8)

由式(8)知b为偶数，令b=2c(c∈Z+)，整理得：q2a4=2c2-8

(9)

因为b为偶数，而gcd(a,b)=1，所以a为奇数.又q为奇数，故式(9)左边为奇数，右边为偶数，显然不成立……