云南省保山第一中学 杨竹青

数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，求解方法开放、灵活，是考查学生的理性思维、逻辑推理和化归能力的好素材。纵观近几年全国各地的高考试题，不难发现求某些形式较为简单的递推数列问题更是近年来的高考热点之一。普通高中《数学课程标准》指出“能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。可见，让学生运用已有的等差、等比数列知识去解决新的数列问题是课程标准的要求，也是高考“能力立意”的要求，本文对近年的高考题或课本上的习题为例，对几类常见的递推数列求通项问题中的构造法（转化为等差、等比数列）作一些探求，希望对大家有所启发。

一、加常数策略构造等比数列

对形如an+1=pan+q(p≠1,q为常数），则令an+1+λ=p(an+λ)来构造一个新的等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。

例1：（2014新课标II卷17题改编）已知数列{an}满足a1=1 ,an+1=3an+1,求数列{an}的通项公式。

简析：解决该试题的关键是化an+1=pan+q为an+1+λ=p(an+λ)的形式，与已知式子相比较得λ，且从而构建数列{an+λ}为首项为a1+λ(a1+λ ≠0)、公比为p的等比数列，先求出an+λ，再求出；

解：由a1=1 ,an+1=3an+1设an+1+λ=3(an+λ)则an+1=3an+2λ与an+1=3an+1比较系数得2λ=1解得是以为首项、3为公比的等比数列。

二、取倒数构造等差数列

形如an+1an=can+1+dan（其中c、d为不等于零的常数）或的递推式，可以用倒数法来构造。如取倒数法得则可转化为等差数列或拆分变换的情形。又如将递推公式递推式，考虑函数倒数关系有则可归为an+1=pan+q型。……