谢春华+陈海烽

[摘 要] 本文通过分析，界定学生说题的定义，接着展示一个学生利用微课说题的案例和学生制作微课的体会，从而提出可以开展让学生通过一道题制作微课的学生说题活动，提出学生制作微课，可以提高他们的学习效益，提高他们的思维能力，提高他们的自我效能的观点.

[关键词] 微课；学生说题；案例

所谓微课，一般是指时间小于15分钟的微视频讲解. 说题，就是将题目的解答思路、方法和解题过程展示出来，达到给予听众启发或共鸣的目的. 学生说题微课是指学生自己制作微视频，将自己对一道题的解答过程分析出来，展示给其他同学. 微课具有可重复使用的优越性，可以迅速在全国传播开来，但是让学生特别是初中生自己制作微课，展示自己对一道题的解题分析，案例尚不多见. 由于笔者承担了一个省级课题的缘故，笔者将之付诸实践.

正巧，笔者参加了一个区级的说题教研活动，说题的题目选自2016年福建三明市中考第25题，在说题过程中，笔者展示了笔者所在学校一位学生独立制作的微课，微课的内容就是解题过程，受到在场所有老师的称赞，都说“学生的能量不可估量”！在赞叹学生能力的同时，教师纷纷对我们的课题表现出了浓厚的兴趣. 现将该生的微课说题过程整理如下.

学生的微课说题过程

1. 题目呈现

如图1，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点.

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.

2. 微课说题过程

作为2016年福建三明市的中考压轴题，题目表达的是两个等腰直角三角形旋转. 第（1）问要证明BD=CE，已知条件是两个等腰直角三角形（配上PPT动画演示，把已知条件中的两等腰直角三角形的两条直角边加粗、上色，直角标出，要证明的两条边BD，CE用与已知条件不同的颜色加粗，着重显示）. 很明显，条件和目标在两个相同的三角形中（PPT显示△ADB和△AEC），所以只要证明这两个三角形全等就可以证得BD=CE. （下面是PPT显示的详细解题过程以及相应的图形，即图2）

对于第二种情况，即点E在BA的延长线上时，方法与第一种情况相同（PPT展示具体的解题过程，重要结论打红色“√”，配图如图5），具体的解题过程如下：

第（2）②问是求在△ADE旋转的过程中BP的最大值和最小值. 因为B为定点，P为动点，所以要求BP的最大值与最小值，要清楚点P的运动规律. 注意到在△ADE旋转的过程中△ADB≌△AEC是确定的，所以∠DBA=∠ECA. 因为∠ABC+∠ACB=90°，所以∠PBC+∠PCB=90°. 所以∠BPC=90°. 所以点P在以BC为直径的圆上运动（PPT演示点P的运动轨迹，即以BC为直径的圆，配图如图6）.

显然，当BP所对的圆周角越小时，BP越小；当BP所对的圆周角越大时，BP越大. 但是，对于这个圆周上的任何一点，点P都能到达吗？这要回到点P的定义中去看. 题干中给出点P为射线BD，CE的交点，那么射线BD，CE到不了的地方，点P就到不了. 在点B，D，C，E中，B，C两点为定点，D，E两点为动点. D，E在以A为圆心、1为半径的圆（⊙A）上运动（PPT动画显示以A为圆心，AD长为半径的圆，并用紫色凸显），所以CE与⊙A要有交点，点P才能存在. 要求CE与圆有交点，又要求∠BCP的最小值，所以BP取得最小值时，就是CE与⊙A在下面相切（图7）时；当取得最大值时，就是CE与⊙A相切在上面（图8）时（PPT演示CE与⊙A相切的两种情況）. 思路理清了，解题过程就很简单了. 下面是详细的解题过程：

（2）②因为在△ADE旋转的过程中，

始终有△ADB≌△AEC，

所以∠DBA=∠ECA.

因为∠ABC+∠ACB=90°，

所以∠PBC+∠PCB=90°.

所以∠BPC=90°.

所以点P在以BC为直径的圆上运动.

因为AD=AE=1，所以在△ADE旋转的过程中，点D，E始终在以点A为圆心、1为半径的圆上运动（记作⊙A）.

因为点P为射线BD，CE的交点，

所以当CE与⊙A相切时，BP取得最小值（图7）和最大值（图8）.

总结 求几何动点最值问题的方法：（1）寻找动点的运动规律，有时动点在一次函数上运动，有时在圆上运动，有时在抛物线上运动. （2）寻找动点运动的范围，这要回到动点的定义中去求. （学生边说，边PPT演示总结过程，PPT如图9）

学生感悟

因为这个微课是我们课题组布置给学生的任务，我们只提供题目，其他PPT和微视频的录入都是学生自己一手完成，因此课题组对学生如何完成这个过程很感兴趣. 为此，笔者让学生写出其微课制作过程的心得体会.

感 悟

九年五班 陈姝妍

本次做的解题视频是2016年福建三明市最后一道题，这道题涉及等腰直角三角形的旋转. 这类题我们从初一做到初三，但每次遇到只有似曾相识的熟悉感，却没能一针见血地解答.

本来因为种种原因，这道题我没做，课堂上老师有讲解，我只把老师说的重点和答案抄了下来. 过了几天，老师让我做这道题的视频，我才把扔在柜子里的卷子找出来，花了几十分钟做了一遍，发现我原来连答案都抄错了. 这是我们普遍存在的问题，好题太多，难题做不完，老师却只有一个，嗷嗷待哺的学生近百个，加上时间不够，有时就要与部分数学题错过.

认真做这个视频的原因之一是我觉得这个视频有存在的意义，可以给很多和我一样的同学一些时间去理解这道题，再给我们一次听这道题解法的机会.

对我而言，决定要做视频了，要给同学讲题了，那我就会不自觉地转换角度看试题，不只是解决问题，而是解析试题. 这样一折腾，对于这道题甚至是这次做视频，我都有许多感触.

为了让更多的人听懂，自己首先要很懂很懂，所以我把题目重新看了好几遍，看到第三遍，才发现简单的第（1）问有更简单的解法，之前我做了一条辅助线，现在发现只要运用全等三角形，一步就可以完成. 既然是简单题，就要用最优方法迅速解决，给后面的难题、好题留足时间.

在第（2）②问中，题目只要求写答案不用写过程，我原来隐约感觉可能和圆有关，求最值最可能的就是相切的时候，算是半蒙半猜写出来的. 但是既然是讲给别人听，这样模模糊糊的观念不容易表达，也不准确，所以我研究了一会儿，发现这个模型中还隐藏着另外一个圆，之前老师没有特别强调，所以我当时听了就省略了，但其实这是问题的关键. 之后，我将两个圆结合起来，通过严谨的推理，说明了为什么相切时BP取到最值.

也许此时我依然没有领悟到动点问题的精髓所在，但开始录视频的时候，我尝试着用通俗的语言来表达出抽象的规律. 语言最奇妙的地方就在于，当你说出你的想法时，脑海中的想法会受到表达方式的微妙影响. 然后我灵光一现，发现动点是动的，但规律却是固定的！其他题目，哪怕不是在圆上运动，在抛物线或在直线上运动，只要发现规律，找到对应的定义域，再略加分析，就能解决所有此类型的动点最值问题——这一总结才是我最大的收获.

不管这个视频对别人而言如何，于我就是一次沉下心思考、总结的过程，我竟意外地在路上捡到许多洒在脚下的珠宝，收获满满.

教学启示

1. 学生微课说题可以提高他们的学习效益

学习金字塔（图10）最早是由美国学者、著名的学习专家爱德加·戴尔1946年发现并提出的，主要是考查学生两周后对于知识还能记住多少. 从中我们发现，塔顶就是我们最常见的第一种学习方式——听讲，学习保持率为5%. 而塔底是最佳的学习方式，就是“教别人”或者“马上应用”，可以记住90%的学习内容. 学生微课说题，就是让学生进行信息输出，他们首先要完成对本试题的理解，在此基础上才有可能输出. 从学生做微课的感受我们可以发现，学生本来只抄写了解题重点和答案，后来却花了几十分钟去解析试题，从解析试题中我们可以发现学生终于理解并达到通透的层次. “然后我灵光一现，发现动点是动的，但规律却是固定的！”从中可以看出一个学生凤凰涅槃、破茧成蝶的过程. 这个过程让学生所获数学解题经验比原来做许多类似的题还要多.

2. 学生微课说题可以提高他们的思维能力

学生在解析试题的过程中，通过审题，给试题的条件进行标注，可以发现有两个全等三角形. 这其实就是我们经常告訴学生的“要怎么做”. 这里学生自己已经体会到如何做，而且通过学生来告诉学生，显然更具可信度. 换句话说，就是更接地气. 从学生研题的过程可以看出，学生开始感到本题和圆有关，但这只是她的直觉，后来通过研究最终证实了这一想法的正确性，而且还在此过程中发现了老师在课堂上没有讲的东西. 由此不难看出学生的逻辑推理素养. 最妙的是，学生对动点最值问题规律的发现，这也是本题的奥妙所在，这个规律是今后解决一大类动点问题的基础. 有个这个思维上的突破，等于提高了自己的数学素养，即数学抽象能力.

3. 学生微课说题可以提高他们的自我效能

学生通过自己呈现微课，做自己同学的老师，能留住自己的东西，同时感受到自己存在的价值. 同学也会对自己有更严格的要求，正如学生所说：“我尝试着用通俗的语言来表达出抽象的规律. 语言最奇妙的地方就在于，当你说出你的想法时，脑海中的想法会受到表达方式的微妙影响. ”同时学生还阐述了自己对找到规律时表现出的兴奋，即发现了解决动点最值问题的一般方法，这是学生送给自己最好的礼物. 我们有理由相信，通过微课说题，学生会更加自信地出现在考场，对动点最值问题不再犯愁.

通过课题组成员的共同努力，我们对学生微课说题的生命力充满了信心. 现在很多学生已加入微课说题制作的大军，学生由被动听题到自己主动说题，由原来的无序思维和混沌状态到逻辑有序，随着学生微课说题案例的丰富，我们强烈地感受到了学生的成长. 教学相长，这也促使教师在提供试题给学生时要更加重视试题的代表性，使学生成为某道题甚至某类题的专家.