摘要：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况，合理地运用现代信息技术，注意信息技术与课程内容的整合，使之成为归纳推理的助手、探索创新的助手、渗透数学思想方法的助手，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

关键词：信息技术数学教学思维导图动态几何

最近，笔者在中国知网上检索主题“高效教学”，发现论文有800多篇；检索主题“高效教学”并且包含“数学”，发现论文有20多篇；检索主题“高效数学教学”并且包含“信息技术”，发现论文为0篇。从这组数据可以看出，目前对“高效教学”的研究还没有大面积展开，理论研究的成果还不是太多，尤其是与具体学科（如数学）的融合还不够。本文将从运用信息技术这一角度，谈谈如何进行高效数学教学。

一、高效数学教学的内涵

吴增生的《3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探》一文认为，高效教学指的是通过教师组织引导，所有学生都产生高效率学习行为的课堂生态系统。高效率的核心是在单位时间里取得学习的高收益，即尽可能好的学习效果。数学教育应该是更关注基于脑、适于脑和发展脑的教育。王光明教授在《高效数学教学行为的归因》《高效数学教学行为的特征》两文中指出，高效的数学教学是通过优化教学行为，将各个环节高效地整合到一起，促进学生高效地参与数学学习，并获得优秀的认知成绩、良好的认知结构、积极的数学学习情感、较强的效率意识、浓厚的理性思维、较强的数学学习能力的行为。高效数学教学行为与低效教学行为相比，应该凸显科学性、智慧性与艺术性等特征。高效数学教学往往都是在研究教材和学生的基础上，考虑如何创设数学教学情境与问题。杨田、王广辉在《透视高效数学课堂教学行为》一文中指出，高效数学教学有清晰的教学流程、丰富的教学语言、精选的教学问题，辅助教学行为有真诚的教师情感、深入的课堂交流……笔者认为，高效数学教学是一种理想的追求，它不能只停留在某一节课或某几节课的高效上，更应关注的是长远的、能促进学生终身发展和幸福成长的高效。

二、信息技术：时代的需求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在基本理念中指出：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施，应根据实际情况合理地运用现代信息技术，注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。同时，要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

《普通高中数学课程标准（实验）》提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合；鼓励学生运用计算机、计算器进行探索和发现。

祁平的《新课程背景下数学教学的哲学思考》一文呼吁，现代教学技术上的应用要在有效性上下功夫，要成为完善和改进传统教学方法（手段）、提高教学效率的现代“技术”。教师要正确处理好“传统”與“现代”的关系，让技术的运用科学有效，并使学生经历 “无图语言→有图语言→动感图语言→无图语言”的思维过程，这样学生对概念的认识才更为深刻。

杨田、王广辉的《透视高效数学课堂教学行为》一文指出，应把控制好课件展示的时机，把多媒体作为学生学习数学和解决问题的有力工具，使学生有更多的时间投入到探索性的数学活动中去。

由此可以看出，如果能充分发挥信息技术这一得力助手的作用，定能有效促进高效数学教学工作的开展。

三、信息技术：高效数学教学的得力助手

常见的信息技术在数学教学中已经发挥了一定的作用。比如，函数图像的教学中，可以避免大量重复的画图过程；正方体侧面展开的动画呈现丰富了学生的直觉感知；一些随机试验（如模拟蒲丰投针计算π的近似值）得以在课堂内实现……这些静态和动态的演示极大地提高了数学教学的效率，但这只是浅层次的高效数学教学，我们更需要的是那些深层次的，能促进学生思考、启迪学生思维、激发学生创造力的高效数学教学。

（一）归纳整理的助手

以思维导图（iMindMap）软件为例，它是归纳整理的得力助手。在数学教学开始阶段，思维导图就是一张很好的“知识地图”；在数学教学结束阶段，思维导图有助于学生良好知识体系的形成——学生通过对知识的归纳整理，使概念之间的联系更为清晰。思维导图是20世纪60年代英国人托尼·巴赞创造的一种笔记方法，与传统的直线记录方法完全不同，以直观形象的图式建立起各概念之间的联系。它往往是从一个主要概念开始，随着思维的不断深入，逐步建立的一个有序的、发散的图。它是对思维过程的导向和记录。学生可以通过思维导图迅速掌握整个知识架构，从而有利于直觉思维的形成，促进知识的迁移。

以余弦定理的教学为例，在该章的复习课上，师生共同合作，最后构造出如图1所示的思维导图，由此留在学生脑海中的将是一幅有关余弦定理的美丽画面。学生若能结合其中的主要数学思想和证明方法等，浮现出体现相应内容的例题或习题，他们对余弦定理的理解将更为丰满。

（二）探索创新的助手

波利亚曾指出，形成过程中的数学看上去是一种实验性的归纳科学，形成后的数学看上去是欧几里得方式表现出来的一种系统演绎科学。技术的进步为学生自己动手、动脑再现数学的发现过程，获取“做数学”的基本活动经验提供了更多便利的工具。几何画板、Z+Z智能教育平台、GeoGebra等动态几何软件（DGS）中的几何图形设计都是以欧式几何为理论，构造的图形精确而清晰，具有强大的动态性和可操作性，可以让学生在基本的数学活动——如计算、抽象、假设（猜想）、证明、应用、验证、建模、提出问题并解决问题——的过程中实现“变异”，抓住数学最本质的东西，看到数学的灵魂，最终学会“做数学”。

如在复习课中，借助信息技术，可以高效地把与抛物线焦点弦相关的知识串接起来。如图2所示，绘制抛物线y2=2px（p>0），过焦点F构造一条直线l，l与抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点。当直线l与抛物线的对称轴垂直时，容易得到y1=-p，y2=p，从而有y1y2=-p2。改变直线l的倾斜角，借助几何画板的度量和计算功能，发现依然有y1y2=-p2。学生的探究欲望被激起，纷纷思考为什么。进而通过构造点A、B在准线上的射影M、N，测量∠MFN的度数，发现等于90°。改变直线l的倾斜角，依然有∠MFN=90°。学生中很快有人发现，可能会有一系列与抛物线有关的定值问题出现。学生的思维迅速打开，思维的深度和广度都得以提升，继而探索出如下一些结论。如图3，过点A、B分别作抛物线的切线，两切线相交于点M，有：（1）∠AMB=90°，∠MFB=90°；（2）点M的横坐标不变，即两切线的交点轨迹是一条直线（即抛物线的准线）。如图2，有：A、O、N三点共线，B、O、M三点共线。有的学生借助几何画板中点的分离与合并功能，把焦点F替换成x轴（即抛物线对称轴）上的一点P（x，0），其中x>0，观察发现依然有x1x2、y1y2为定值这个结论……师生结合变易理论和动态几何“变中不变”的关系，在四种变易范式（对比、分离、融合和类比）指导下，由动态几何的“变”（即拖动）探寻变中之“不变”（即根据实时测量，从量的角度刻画不变属性），为探索创新提供了有力的“武器”。

又如，在三角形全等判定定理的教学中，一种大胆的教学方法如下：借助信息技术，在几何画板中先任意画一个△ABC，然后让学生画一个与它形状和大小都一样的△A′B′C′。学生经过一段时间的尝试，得到若干种方法：

（1）如图4，在△ABC所在平面上任取一点B′，过点B′作l1∥AB，l2∥BC。然后，以点B′为圆心，AB长为半径画圆，与l1相交于点A′。再以点B′为圆心，BC长为半径画圆，与l2相交于点C′。则△A′B′C′即为所求（当然△A′′B′C′′也是满足要求的三角形）。

此法包含的就是“边角边”的判定定理。

（2）如图5，在△ABC所在平面上任取一点B′，过点B′作l1∥BC。然后，以点B′为圆心，BC长为半径画圆，与l1相交于点C′。再以点B′为圆心，AB长为半径画圆，以点C′为圆心，AC长为半径画圆，两圆相交于点A′。则△A′B′C′即为所求。

此法包含的即是“边边边”的判定定理。

学生在拖动点A（或B、C）的过程中，发现不管原来△ABC的形状、大小和位置如何变化，按照他们构造的方法所绘制的三角形也同步变化（保持全等），动态感受了两个三角形全等的判定定理。

借助信息技术营造孕育数学发现的可视化环境，为情境建构了物理的模拟模型，这是一种高效的数学学习方式。它改变了定理、结论的呈现形式，使学生于其中获得发现问题、提出问题的经验；它在变化中凸现其不变性，使学生于其中获得分析问题、解决问题的经验。由此，学生真正感受到信息技术给予的一种探索创新，体会到高效数学教学带来的乐趣。

（三）渗透数学思想方法的助手

下面简要以数形结合思想和极限思想为例加以阐述。

“形缺数时少直观，数缺形时难入微”，信息技术为抽象的数学教学带来新的生机与活力，高效地丰富了数形结合的思想。许多代数问题先借助信息技术进行几何化，从结果着手，有了直观认识后，再进行代数方法的求解，则会事半功倍。比如，求方程ax=logax（a>0且a≠1）的解，很多学生画出简单的示意图（如图6）后，发现有时有一个解，有时无解。在不借助于信息技术的条件下，是很难想象到有两个、三个解的情况的。如果先借助几何画板，作出两个函数y=ax和y=logax的图像，然后改变参数a的值，观察图像的变化（如图7），再去思考为什么，学生的研究将不再是盲目的、低效的。

信息技术改变了传统的粉笔加黑板的教学方式，为极限思想的教学创造了有利条件。比如，在圆面积公式的推导中，传统的方法是：教师先展示把圆面平均分成8份、16份和32份后进行拼接，然后告诉学生当分割的份数越来越多的时候，所拼成的图形越来越接近长方形。事实上，学生对这两个“越来越”的体会并不深刻。如果借助信息技术，在课堂上让学生自我尝试，当输入的分割份数越来越多（比如从32份到64份，再到128份），呈现在眼前的是如图8所示的一系列变化过程时，学生的视觉受到极大冲击，对极限思想的感悟更为形象、高效。

信息技术与数学课程的整合研究已进入一个新的阶段，许多学校具备了相应的硬件设备（如电子白板、TI图形计算器等），但是“软件”（主要是教师对信息技术的运用）还远远没有跟上。在数学教学中，教师如果能恰当借助信息技术，给学生创造一个“做数学”的实验环境，让学生更多地通过数学活动过程的学习，学会猜想，学会推理，学会思维，那么高效数学教学将不再只是一种理想的追求，而是理想的不断实现和超越。

参考文献：

[1]吴增生.3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探[J].数学教育学报，2011（1）.

[2]王光明.高效数学教学行为的归因[J].数学教育学报，2010（5）.

[3]王光明.高效数学教学行为的特征[J]. 数学教育学报，2011（1）.

[4]楊田，王广辉.透视高效数学课堂教学行为——基于优秀初中数学教师的个案研究[J].数学教育学报，2011（2）.

[5]祁平.新课程背景下数学教学的哲学思考[J].数学通报，2007（2）.

[6]【英】托尼·巴赞.思维导图[M].李新译.北京：作家出版社，1999.

[7]植佩敏，马飞龙.如何促进学生学习——变易理论与中国式教学[J].人民教育，2009（8）.

（顾新辉，南通师范高等专科学校数理系副教授，主要从事信息技术与数学课程的整合研究。）