楼智美王元斌

（1.绍兴文理学院物理系，绍兴 312000）（2.绍兴文理学院数学系，绍兴 312000）

Lagrange系统的广义斜梯度表示*

楼智美1†王元斌2

（1.绍兴文理学院物理系，绍兴 312000）（2.绍兴文理学院数学系，绍兴 312000）

提出广义斜梯度系统并研究其性质，给出非定常Lagrange系统成为广义斜梯度系统的条件，利用广义斜梯度系统的性质来研究力学系统的稳定性.举例说明结果的应用.

Lagrange系统，广义斜梯度系统，稳定性

引言

通常梯度系统的矩阵和函数都不含时间t.如果矩阵和函数都含时间t，则称为广义梯度系统.如果斜梯度系统的矩阵和函数都含时间t，则称为广义斜梯度系统.文献［1］指出，梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究.文献［2］给出斜梯度系统，但它们都不含时间.有关力学系统与梯度系统的关联研究已有一些结果，如文献［3－12］.本文将通常斜梯度系统推广到包含时间的情形，并将非定常Lagrange系统的方程在一定条件下化成广义斜梯度系统的方程，进而借助广义斜梯度系统来研究力学系统的稳定性.

1 广义斜梯度系统

通常斜梯度系统的方程为［2］

这里及以后相同指标表示求和，其中X＝（x1，x2，…，xm），bij（X）＝－bji（X）.将方程（1）推广到包含时间的情形，有

其中bij（t，X）＝－bji（t，X），称系统（2）为广义斜梯度系统.

因此，对广义斜梯度系统（2），如果V＝V（t，0）＝0，V正定，且

则由Lyapunov定理知，解X＝0稳定.以上性质可用来研究可化成广义斜梯度系统的力学系统的稳定性.

2 Lagrange系统的梯度表示

Lagrange系统的微分方程为

则由（5）式可解出所有广义加速度，记作

令

则方程（7）可写成如下形式

其中

引进广义动量……