彭捷　李成　邓阳　刘萍　罗振国

摘 要：以衡阳市古汉养生精为研究对象，运用分数阶微积分知识和Matlab软件编程。简要分析了药物在生物体内吸收、分布、代谢和排泄的速度规律，以期为临床医学治疗提供一些帮助。

关键词：古汉养生精；药物代谢动力学；分数阶微积分；药动学模型

中图分类号：O175 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2017.08.073

古汉养生精是由人参、炙黄芪、枸杞子、女贞子（制）、菟丝子和金樱子肉等12味中药材制成的，它属于中药制成的滋阴壮阳药物，具有提高男性性功能的作用。该药具有滋肾益精、补脑安神的功效，临床主治脑动脉硬化、冠心病、前列腺增生、更年期综合征、病后虚弱等症。迄今为止，相关人员还未检测到针对古汉养生精展开药代动力学研究的文献，因此，对古汉养生精进行药代动力学研究是非常有必要的。开展古汉养生精药物代谢动力学研究，对阐明和揭示古汉养生精药效物质基础和作用机制、设计及其优选古汉养生精给药方案、促进古汉养生精研发、剂型改进和质量控制有非常重要的意义。

笔者将简单回顾分数阶微积分的概念，分析现在分数阶微积分的应用情况，然后建立基于分数阶微积分的古汉养生精药动学模型，继而着重分析和论述由模型得出的结果，从而为临床医学治疗提供一定帮助。

1 分数阶微积分概念

1.1 分数阶微积分背景和定义

300多年前，分数阶微积分诞生了。众多周知，分数阶微积分是古典微积分的延伸，即阶次的扩展——当整数n变成分

数时，导数 是否成立？当整数n变为无理数或复数，导数 是否同样成立？

1695年，莱布尼茨以通信的方式与洛必达探讨过函数的分数阶微分问题。莱布尼茨在信中向洛必达提出这个问题：“如果把微分运算中微分的阶数由整数变为分数，此时，微分表示什么意义呢？”洛必达认为，这个问题非常有趣，在回信中回复：

“当微分的次数是 ，此微分有什么意义呢？”显然，在当时，这些问题还很难解决。1819年，拉科鲁瓦给出了

这个答案，这是关于分数阶微积分的最早结果，具体详见参考文献[4]。

随着分数阶微积分的发展，黎曼、刘维尔、格伦沃尔、列特尼科夫和卡普托等数学家从不同角度先后给出了几种分数阶微积分的定义。下面，我们简单介绍几种常用的分数阶微积分定义。

1.2 拉普拉斯变换在分数阶微积分的应用

拉普拉斯变换法是讨论整数阶微分方程初值问题的一种重要方法，且被广泛应用于药动学中。对于分数阶微分方程的初值问题，也可以采用拉普拉斯变换法。近年来，许多专家学者利用拉普拉斯变换法来研究分数阶微分方程，主要方法是将偏微分方程转化为常微分方程，而且在同一代数域上考虑方程中不同阶数的微积分算子，大大简化求解过程。下面，列出几个常用的分数阶拉普拉斯变换公式。

函数的分数阶积分和函数分数微分之间有很大的不同，计算f（t）分数阶导数的初值是函数的分数阶积分定义的拉普拉斯变换所需要。在实际工程应用中，很难得到这样的初值，且并不明确其几何意义和物理意义，所以，整数阶微积分的拉普拉斯变换与函数分数微分定义下分数阶算子的拉普拉斯变换所需初值相同，形式比较简洁，适合解其解析值。

1.3 分数阶微积分的应用

对于阿贝尔积分方程与等时问题，刘维尔位势理论等应用为分数阶微积分的发展注入了新的活力。近年来，分数阶微分方程在分形几何、金融数学、生物科学、控制理论、光学和化学等领域的应用越来越广泛。这标志着分数阶微积分已经成为了解决实际问题的重要工具之一。

2 古汉养生精的药动学模型

运用数学方法模拟药物在体内吸收、分布和消除的变化过程而建立起来的数学模型，称作药代动力学模型。其中，仓室模型、统计矩模型和药物动力学模型最常见，而一般的仓室模型使用的是常微分方程。近年来，针对许多社会现象，比如个体化给药时所建立的数学模型验证效果不好，因此，许多学者考虑采用新的数学建模方法来解决许多现实问题。在研究古汉养生精的药动学时，我们建立了分数阶微方程模型。

2.1 古汉养生精的二室分数阶模型

在学者们建立的药动学模型中，虽然一室模型非常简便，但是，它太粗糙，不能满足当今社会对药物治疗的需求。因此，我们可以考虑用更多的房室来描述数据和复杂的模型。目前，公认较好是二室模型。二室模型与一室模型相比精确度好，只是需要计算稍复杂。二室分数阶模型如图1所示。

2.2 二室模型的数值解

由于实际情况比较复杂，很难得到所建立的分数阶微分方程模型的精确解。因此，在实际应用中，常利用计算机程序对分数阶微分方程进行离散化，仿真模拟，从而得到分数阶微分方程模型的数值解。对于古汉养生精，可采用以下方法进行数值逼近模拟。

函数的分数阶积分适用于数值计算，而且在某些特定条件下，其与函数分数阶微分是等价的，则有式（15）成立，即：

本文使用受试者4的相干参数探究二室分数阶模型的中央室C-t曲线在不同α值下的影响。在其他参数相同的情况下，α分别取值为0.8，0.9，1.0，1.1.经过计算机模拟，可得不同α值下的C-t曲线，具体如图3所示。

从图3中可以明显看出，当参数α=α1=α2>1时，与整数阶情形α=1时相比，药物浓度衰减速率要快；当参数α=α1=α2<1时，与整数阶情形α=1时相比，药物浓度衰减速率要缓慢。因此，我们利用这个重要性质来拟合实验数据，从而更精准地刻画出药动学模型。

3 结束语

健康的身体是所有人的共同追求，而动脉硬化、冠心病、前列腺增生、肿瘤等疾病却常常让我们身边的人苦不堪言，重者甚至还会夺去生命。古汉养生精在这些方面有比较好的疗效，毒副作用比较小，是中药治疗和中西结合治疗的不错选择。经过研究，笔者希望可以运用所学的数学知识为医学进步尽一点绵薄之力。

本文运用分数阶微积分知识，利用 Matlab 编程软件得到浓度-时间曲线图。在研究过程中，模拟了古汉养生精药物的反常扩散过程，与整数阶情形相比较，其反常扩散过程更符合实际情况，为临床医学治疗提供了一定的参考，更为一般意义下的非线性分数阶模型和不同阶次的模型动力学行为研究指明了方向。

参考文献

[1]徐文流，周联.古汉养生精配合放化疗在肿瘤治疗中对白细胞影响34例临床观察[J].北京中医，1995（4）：64-65.

[2]刘礼意，孙兆泉，唐湘娟，等.古汉养生精抗动脉粥样硬化作用的实验探究[J].湖南中医杂志，1995，11（2）：35-37.

[3]尹天雷，陈风华，管红英，等.古汉养生精治理神经衰弱72例临床观察[J].湖南中医杂志，2015，31（1）：43-44.

[4]郭柏灵.分数阶偏微分方程及其數值解[M].北京：科学出版社，2011：18-45.

[5]百占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用[M].北京：中国科学技术出版社，2012：1-37.

[6]胡海波，王林.幂律分布研究简史[J].物理，2005，34（12）：889-896.

[7]张浩.基于分数阶微积分的药物代谢动力学建模及其分析[D].武汉：华中科技大学，2013.

[8]Hilfer R.Fractional calculus in physics.Singapore：World scientific，2000.

作者简介：彭捷（1994—），男，湖南衡阳人，本科，主要从事微分方程计算及应用方面的研究。

〔编辑：白洁〕