江苏省昆山市第一中学(215300)

陈小丽●



论恒成立问题的解题策略

江苏省昆山市第一中学(215300)

陈小丽●

本文紧扣住恒成立问题的解题策略这条主线，从四个方面总结了恒成立问题在各个知识板块的相关应用及应用技巧，并结合了一些实例来具体说明.通过研究发现巧妙运用等价转化的思想方法可以解决一些具体的数学问题，可起到事半功倍的效果.

恒成立；构建函数；变量分离；数形结合

高中数学中的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，近年来已经逐渐成为高考中的必考题型.这类问题通常题设中均含有恒成立的条件，给我们以很明显的提示，我们在处理的时候主要是运用等价转化的数学思想去解决.

恒成立问题包括函数的不同题型，比如一、二次函数；指、对数函数；幂函数以及函数的导数，三角函数的图象与性质等，还有数列，解析几何等不同的知识点，顺应了考试命题的制定原则.就是因为恒成立问题所涉及的知识点多，有着一定的综合性，大量学生对怎么样从试题中获取知识通常是十分模糊的，进而逐渐变成高中阶段学习过程中经常见到的题目.恒成立问题的大量题目均和函数的最值有着一定关系，这就促使教师在日常教学过程中需要向高中学生教授函数的重要思想与方式，不断指引他们深入了解知识点间存在的关联，还有教学过程中的通性通法.

为了能够对于恒成立问题的解题方式有更加全方位的了解，文章尝试对这些问题的解题方式进行归纳.

一、构造函数，利用函数性质解决恒成立问题

在处理涉及多元不等式恒成立题目的时候，最为主要的就是建立适宜的函数，之后借助其图象与特征来求解.在涉及多变元的题型中，我们必须按照已知的知识点来明确适宜的变量与数值，来代表存在的函数关系，使题目看起来更加明确.通常而言，必须把已知的条件当作是变量，将需要求解的量当作是参数.

1.变更主元，建立一次函数

大家都知道，一次函数的图象是一条直线，如果想要使其在范围内恒大于(或小于)零，仅仅需要让其在范围内的两个端点处恒大于(或小于)零就行.

2.构建二次函数

二次函数是高中数学的一个重点，二次函数的恒成立问题主要根据二次函数的图象与性质来研究，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的函数值大于零恒成立，我们一般可以考虑用判别式法，只需考虑该函数图象的开口方向和判别式，其它问题可作类似的处理；若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用实根的分布来解决问题.根据给定的定义域，一元二次不等式恒成立问题常见下面两种题型：

分析 由题设可将问题转化为不等式mx2+2x+3>0对x∈R恒成立，这是一个不等式恒成立问题.设f(x)=mx2+2x+3，由于二项式系数为参数m，所以要先对参数m进行讨论，考查了分类与整合思想.当m≠0时，要使不等式恒成立，则对应的二次函数的图象必须恒在x轴上方，那么我们根据图象得知开口向上且对应的Δ<0.在本题中，主要贯穿了函数与方程思想及化归与转化思想.

例3 对任意x∈[-1,1]，不等式x2+(m-4)x+4-2m>0恒成立，求m的取值范围.

分析 本题是不等式在给定区间上的恒成立问题.我们可以根据不等式构造出二次函为f(x)=x2+(m-4)x+4-2m，从而问题转化为二次函数在给定区间上求最小值.我们发现这是常见的动轴定区间问题，于是我们还要根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分为三种情况去讨论，从而问题得以解决.

3.构建三次函数解决含双变量的恒成立问题

在上面的两类问题的讨论中我们只涉及了一个变量，一个参数.然而，高中数学关于恒成立的问题拓展的范围很广，很深.有很多问题会涉及到多个变量，那么我们在处理这类恒成立问题时就需要先理清楚变量的先后顺序，一旦先锁定一个变量，那么就将问题转化为这个变量的恒成立问题，运用适当的方法加以解决.下面来看一个实例：

例4 已知f(x)=-x4-ax3-2x2+16lnx+b，其中a,b∈R，若对任意a∈[-2,2]，f(x)≤-x4在x∈(0,1]上恒成立，求实数b的取值范围.

二、参变量分离，转化为最值解决恒成立问题

三、数形结合，直观处理恒成立问题

数形结合就是以形助数，以数辅形，充分利用这种结合，寻找解题思路，在含有不等式恒成立题型中它同样发挥着十分关键的作用.众所周知，函数图象与不等式存在一定关系，假设不等式中表示的函数的图象能够简单描绘出来，就能够借助图象的位置关联构建不等式，进而获得参数区间.

分析 本题中的不等式对应的参数在底数的位置上，不易变形出来.通常我们解答时是将不等式进行变形，使变形后的不等式的两边对应的函数为我们所熟悉的基本函数，然后通过作出它们的图象，通过它们的交点情况来建立相关的不等式进行解答．利用数形结合法解答此类不等式的关键有三处：

(1)不等式的变形，找准相应的基本函数；

(2)准确画出对应函数的有关图象；(3)寻找两个图象的交汇处与位置关联.

恒成立问题的题型通常包括大量的知识点，求解的方式是较多的，有着十分强大的技巧性，在解题过程中可能还会渗透进分类讨论思想，数形结合思想等，这就要求学生具有较强的思维灵活性和创造性.上面我们提到的几种解题策略是比较常用的，但因为问题的形式千变万化，考题也常考常新，所以我们要在教学过程中归纳总结出解决恒成立问题的其他方法.我们了解到，解题方式并不是独立存在的，在求解过程中，通常必须进行综合考量，自由使用，才可以更加顺畅的求解.不过，无论是使用什么样的求解方法，均融入了教学的思想方式，也就是借助化归到函数求其最值来进行解决.只有把握了这点，才可以以“不变应万变”，不过这是需要我们进行深入体验与归纳.

[1]查志刚.谈恒成立问题的求解方法探讨[J].数学通报，2003(6).

[2]金建军.高中数学中的恒成立问题[J].中学教研(数学)，2006.

[3]杨金全.高考数学中的恒成立问题的应用与探究[J].学周刊，2015(12).

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