陕西省西安市临潼区马额中学(710609)

童永奇●



处理立体几何问题的常用数学思想

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)

童永奇●

本文拟通过归类举例的形式，具体说明处理有关立体几何问题时经常用到的一些重要的数学思想，旨在帮助读者拓宽解题思维，进一步提高分析、解决此类问题的实际能力.

类型一、转化思想

转化既是一种思想，又是一种策略，也是一种方法.对一个数学问题，经过分析思考后，认为需要转变成另一个数学问题，这就是转化思想.转化思想的实质就是“寻求联系，实现转化”.

(Ⅰ)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(Ⅱ)求PC和NC的长.

分析 第一问比较简单，根据正三棱柱的侧面展开图为矩形即可获解；第二问的难点在于，准确分析最短路线对应的具体情景——可借助侧面展开图，将空间中的最小值问题等价转化为平面中的最小值问题，以便灵活利用平面几何知识加以思考.

(Ⅱ)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°，使其与侧面AA1C1C在同一平面内，此时点P运动到点P1的位置，连接MP1，则易知MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.

(Ⅰ)求证：EF∥平面ABC；

(Ⅱ)求证：平面ACD⊥平面BCDE；

(Ⅲ)求直线BD与平面AED的夹角θ的正弦值.

分析 第一问考虑直线与平面平行的判定定理可知，欲证直线与平面平行，即证直线与直线平行；第二问考虑平面与平面垂直的判定定理可知，欲证平面与平面垂直，即证直线与平面垂直；第三问考虑空间向量法可知，欲求线面夹角的正弦值，即求直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角的余弦值.

又EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，故由线面平行的判定定理，得EF∥平面ABC.

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC.

∵CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC.

于是，由BC∩CD=C及线面垂直的判定定理，得AC⊥平面BCDE.

又AC⊂平面ACD，故由面面垂直的判定定理，得平面ACD⊥平面BCDE.

设平面AED的法向量n=(x,y,z)，则

评注 本题主要考查立体几何中线面平行、面面垂直的判定定理和空间向量法，突出地体现了“转化思想”在分析、解决问题中的灵活运用.

类型二、分类与整合思想

分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整体问题的解答.实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学解题策略.

分析 由于球心O与正三棱锥A-BCD的位置关系不确定，所以本题应分情况加以讨论.为了便于分析求解，在每种情况下需要先画出图形，并通过适当作辅助线构造直角三角形.

解析 设正三角形△BCD的中心为H，作截面ABH.

由球心O与正三棱锥A-BCD位置关系的不同可分为以下两种情况：

评注 从解题目标看，难点是计算锥体的高，而在求高的过程中，必须注意图形的不确定性，突出地体现了“分类与整合思想”在分析、解决问题中的灵活运用.

例4 如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、G分别为棱C1D1、BB1的中点，点F是正方形AA1D1D的中心，则空间四边形BGEF在正方体的六个面内的射影所构成的图形的面积中的最大值是____．

分析 为了便于求解射影面积的最大值，就必须分别求出空间四边形BGEF在正方体的六个面内的射影所构成的六个图形的面积.考虑正方体的对称性，只需求出三个相邻面内的射影.

解析 结合正方体的对称性可知，考查空间四边形BGEF的射影面积可分以下三种情况：

评注 注意到本题以特殊的几何体“正方体”为载体设置而成，可以大大降低分类讨论的过程，优化解题思维，突出地体现了“分类与整合思想”在分析、解决问题中的灵活运用.

类型三、数形结合思想

数形结合思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

例5 如图，要在呈空间四边形形状的支撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上.已知AC=a，BD=b，问E、F、G、H在什么位置时，吸光板的吸光量最大.

分析 从目标问题看，要满足吸光板的吸光量最大，即应满足矩形EFGH的面积最大.于是，可从“数”的角度出发，先得到该面积的表达式，再具体分析何时面积取得最大值即可顺利获解.

解析 设EH=x，EF=y，因为EH∥FG，EH⊂平面ABD，FG⊄平面ABD，所以FG∥平面ABD.又FG⊂平面BCD，平面BCD∩平面ABD=BD，所以FG∥BD.同理可证EF∥HG∥AC.

故当E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点时，吸光板的吸光量最大.

评注 本题求解的关键是首先充分利用图形，巧妙地给出矩形EFGH面积的表达式，然后再利用均值不等式确定该面积何时取得最大值.这种解法的优点是将立体几何问题代数化，便于从“数”的角度加以研究，突出地体现了“数形结合思想”在分析、解决问题中的灵活运用.

例6 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为____.

分析 从正方体出发，很容易想到建立空间直角坐标系，进而考虑空间向量法，于是可从“数”的角度出发，先得到点P到直线CC1的距离的解析表达式，再具体分析最小值即可顺利获解.

于是，

又直线CC1的一个单位方向向量

从而，点P到直线CC1的距离为

综上，由于数学思想方法是高考考查的重点，所以我们在解题时应学会有意识地去考虑常用数学思想方法，不断积累解题经验，逐步提升解题技能.

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