唐山市丰润区任各庄镇中学(064012)

董凤娥 ●



用“不完全归纳法”解两道物理高考题

唐山市丰润区任各庄镇中学(064012)

董凤娥 ●

针对连续作用过程的物理问题用不完全归纳法来解决很有效.本文以全国高考和北京高考试题为例加以说明，以便引起大家的重视.

物理;全国高考;北京高考;不完全归纳法.

众所周知，对于一个和自然数n有关的命题，如果由n=1命题成立，可推出n=2命题成立；由n=2命题成立，可推出n=3命题成立；依此类推，由n=k-1命题成立，可推出n=k命题成立；这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n≥0或1的自然数都成立.这种推理在数学上叫做“不完全归纳法”(也可以叫做递推法).有些高考物理试题用这种推理来解决很有效，但必须要有耐心.下面举例加以说明以便引起大家的重视.

例1 (2007年全国高考)如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂.现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°.

解析 设绝缘小球m的摆线长度为L，由题设可知每次碰撞都发生在最低点且为弹性正碰，规定向左为速度的正方向，第一次碰撞前绝缘小球的速度为v0，碰撞后绝缘小球的速度为v1，金属球的速度为V1，碰撞前后由动量守恒定律可得：

mv0=MV1-mv1①

碰撞前后由机械能守恒定律可得：

已知M=19m③，

由①②③联立，解得

根据题意可知，第二次碰撞前绝缘小球的速度为v1，等于第一次碰撞后绝缘小球的速度.设第二次碰撞后绝缘小球的速度为v2，金属球的速度为V2，

碰撞前后由动量守恒定律可得：

mv1=MV2-mv2

碰撞前后由机械能守恒定律可得：

已知M=19m

同理可得，第三次碰撞前后有，

mv2=MV3-mv3

已知M=19m

以此类推，可求得第n次碰撞后绝缘小球和金属球的速度分别为

设第一次碰撞前绝缘小球的动能为E0，根据题意可知碰撞前由最高处到达最低处的过程机械能守恒，则有

不妨假设，第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度等于45°.第n次碰后绝缘球的动能为En，根据题意可知碰撞后由最低处到达最高处的过程机械能守恒，则有

如果经过n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度小于45°，则有0.81n<0.586

因为，当n=2时，0.586<0.812；当n=3时，0.813<0.586.

所以，经过3次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450.

例2 (2010年北京高考)雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大.现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞.已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1.此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为m2、m3…mn…(设各质量为已知量).不计空气阻力.若考虑重力的影响， 求:

(1)第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1′；

解析 (1)若考虑重力的影响，沿竖直方向(正方向)雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，每一次碰撞瞬间(前后)动量守恒.

第1次碰撞后，m0v1=m1v1/

第2次碰撞后，m1v2=m2v2′

结合(2)式可得

依此类推，第n次碰撞后雨滴速度为

所以，第n次碰撞后雨滴的动能为

由以上两例不难看出，针对连续作用过程的物理问题用不完全归纳法解答很奏效.依托物理问题情景，考查学生运用经典的数学知识和数学思维解决物理问题是今后高考的一种趋势，希望大家要引起足够的重视.

[1]http://www.docin.com/p-694276988.html

[2]http://www.docin.com/p-480952069.html

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