吴奎霖, 刘 倩

(1. 贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025; 2. 西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

一类可逆系统周期轨道的周期函数的单调性判断

吴奎霖1, 刘 倩2

(1. 贵州大学 数学系, 贵州 贵阳 550025; 2. 西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

研究了一类可逆系统周期轨道的周期函数单调性问题.给出一个周期函数单调性的判别方法,并根据该判别方法证明了2个系统的周期函数是单调的.

可逆系统； 周期函数； 等时中心

微分系统的奇点q称为中心如果存在奇点q的一个邻域,使得该邻域全部由围绕奇点q的周期轨道组成.这样的最大邻域称为中心q的周期环域,通常记为P.对于一般的可积微分系统

(1)

不妨假设原点O(0,0)是系统(1)的中心,H(x,y)是其首次积分.围绕O(0,0)的周期环域记为P:={γh:H(x,y)=h,h∈Σ},其中Σ为h的极大存在区间,使得轨道γh是系统(1)的周期轨道.则周期轨道γh的周期为

(2)

称函数T(h)为系统(1)的周期函数,周期函数T(h)的极值点称为系统(1)对应中心O(0,0)的临界周期.如果周期函数T(h)是一个常值函数,即T′(h)≡0,则称中心O(0,0)是等时中心.周期函数的相关问题有很多重要的应用,例如:分支理论方面的应用[1]、Neumann问题解的存在性[2]等.研究周期函数相关性质请参见文献[3-11].

本文考虑如下解析的非哈密顿系统

(3)

假设原点O(0,0)是系统(3)的一个中心,且系统(3)有如下形式的首次积分

H(x,y)=B(x)y2+A(x).

显然，

且

是系统(3)对应首次积分H(x,y)的积分因子.这里总假设A(x)、B(x)是解析函数,且U(x)y与F(x,y)没有公因子.

对于拟二次哈密顿系统H(x,y)=A(x)+B(x)y+C(x)y2的等时性问题,A.Cima等[12]已经给出了相关的结果.根据系统(3)的首次积分形式,本文研究系统(3)的周期轨道的周期单调性问题.

假设原点O是方程(3)的非退化中心,且U(0)>0,则

B(0)≠0,A′(0)=0,B(0)A″(0)>0.

(4)

设P为原点O的周期环域.不妨设H(0,0)=0,且

H(x,y)>0, ∀(x,y)∈P{(0,0)}.

记首次积分H在周期环域P上的取值范围为(0,h0)(h0≤∞),其中H=h0是对应于周期环域的外边界.定义开区间

(xl,xr)={x∈R|∃y∈R,s.t.(x,y)∈P}.

对每个h∈(0,h0),记γh为包含于集合{(x,y)∈P|H(x,y)=h}的周期轨道,T(h)为其周期.此外，记周期轨道γh在x-轴上的投影为(x0(h),x1(h)),即

(x0(h),x1(h))={x∈R|∃y∈R,
s.t.(x,y)∈γh}.

1 主要结论的证明

在证明本文的主要结论之前需要首先介绍几个引理.

引理 1.1 考虑系统(3),则下列结论成立:

1)B(x)>0,U(x)>0,∀x∈(xl,xr);

2)A(x)>0,xA′(x)>0,∀x∈(xl,xr){0},此外,A(0)=A′(0)=0,A″(0)>0;

3)A(x)→h0,如果xxl或者xxr;

4) 周期轨道γh的周期为

(5)

其中,A(x0(h))=A(x1(h))=h.

证明 该引理的详细证明请参照文献[13].

引理 1.2 设φ:[a,b)→R是解析的,并且ψ:(a,b)×(a,b)→(0,+∞)满足下列关系

(6)

证明 该引理的详细证明请参照文献[12].

∮γhF(x)y2k-1dx=∮γhG(x)y2k+1dx,

其中

证明 详细证明请参照文献[14].

为了刻画周期函数T(h)的单调性及等时性,引入辅助函数

定理 1.1 设原点O是系统(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析函数.定义函数

其中

则有:

(a) 系统(3)的周期函数是单调的,如果对任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定号;

(b) 原点O是系统(3)的等时中心,如果对任意x∈(0,xr)(x∈(xl,0)),

Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0.

证明 由周期函数定义及引理1.3,得到

对上式2边关于h求导可得

令z=g(x),则z2=A(x),且

注意g(x)=-g(σ(x)).因此对任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),Ψ(x)-Ψ(σ(x))定号,则T′(h)定号.由引理1.2可得:如果对任意x∈(0,xr)(或x∈(xl,0)),

Ψ(x)-Ψ(σ(x))≡0,

则T′(h)≡0.因此原点O是系统(3)的等时中心.

推论 1.1 设原点O是系统(3)的非退化中心,U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析偶函数.如果

Φ(x)U(x)-B(x)≡0,

则原点O是系统(3)的等时中心.

证明 如果U(x)、A(x)和B(x)是区间(xl,xr)上的解析偶函数,则对合函数σ(x)=-x,且Ψ(x)=Ψ(σ(x)).故由定理1.1即可证明结论.

2 应用

例 2.1I.Pleshkan[15]证明了下面的系统(7)是等时系统

(7)

系统(7)的首次积分为

取

根据定理1.1直接计算可得

Φ(x)U(x)-B(x)≡0.

例 2.2 下面是一个7次的Liénard-van der Pol系统:

(8)

系统(8)有3个奇点:鞍点O(0,0)、中心P-1(-1,0)和中心P1(1,0),2个中心对应的周期环域关于y轴对称,见图1.

图 1 系统(8)的相图

系统(8)的首次积分为

首先作变换X=x+1把中心P1平移到原点.中心P1对应的周期环域的周期函数为

取U(X)=1,B(X)=1/2,根据定理1.1直接计算可得

令Z=σ(X),则由

可知

Q(X,Z)=2X+X2+2Z+Z2≡0,

其中

P(X,Z)=2X2(1+X)3(2+X)3+
2X(1+X)4(2+X)3Z+
(1+X)3(2+X)3(2+2X+X2)Z2+
(3+X)(2+2X+X2)×
(12+18X+15X2+6X3+X4)Z3+
(2+2X+X2)(66+63X+33X2+9X3+X4)Z4+
(2+2X+X2)(63+33X+9X2+X3)Z5+
(2+2X+X2)(33+9X+X2)Z6+
(9+X)(2+2X+X2)Z7+(2+2X+X2)Z8.

要证明Ψ(X)-Ψ(Z)在区间(-1,0)或(0,+∞)定号,只需证明多项式P(X,Z)与Q(X,Z)没有公共零点即可.用数学软件Mathematica计算多项式P(X,Z)与Q(X,Z)关于变量Z的结式得到

Resultant[P,Q,Z]=X6(2+X)6×
(8-20X2-20X3+11X4+32X5+24X6+8X7+X8).

容易判断代数方程Resultant[P,Q,Z]=0在区间(-1,0)或(0,+∞)没有实根.根据结式的性质可知多项式P(X,Z)与Q(X,Z)没有公共零点.从而可证明Ψ(X)-Ψ(Z)在区间(-1,0)或(0,+∞)定号.因此,根据定理1.1,就证明了系统(8)的2个周期环域所对应的周期函数都是单调的.

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2010 MSC：34C07; 34C08; 34C25

(编辑 周 俊)

Monotonicity for Period Function of Periodic Orbits of a Class of Reversible Systems

WU Kuilin1, LIU Qian2

( 1.DepartmentofMathematics,GuizhouUniversity,Guiyang550025,Guizhou;
2.SchoolofComputerScienceandTechnology,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610041,Sichuan)

In this paper we deal with the monotonicity of the period functions of periodic orbits for a class of reversible systems. We give a criteria for monotonicity of period function. Applying this criteria to the period functions of two systems, we prove their monotonicity.

reversible systems; period function; isochronous center

2016-07-11

国家自然科学基金(11661017)和贵州省科学技术基金(黔科合J字[2015]2036号)

吴奎霖(1981—),男,副教授,主要从事微分方程定性理论的研究,E-mail:wkuilin@163.com

O123.4

A

1001-8395(2017)03-0324-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.009