张新春

讨论位值制，我们应先区分位值制与进位制。事实上，相对于位值制而言，进位制出现得更早，更普遍。从某种意义上说，进位制是对刻痕记数的直接改进———刻痕记数，数是多少就刻多少道痕，对大数尤其是比较大的数而言，显然不方便，于是很容易想到进位制。所谓进位制，就是以P个数组成一个新的单位，用一個新的符号表示。P个新的单位又组成一个更高的单位，用另一个符号表示。我们就把这个叫做P进制。P叫做进位的基。“如不算最原始的刻痕记数，古今中外的记数法都是进位制的”（梁宗巨，《世界数学通史》，辽宁教育出版社），而位值制则是在进位制的基础上，对如何处理新的单位想到了漂亮的办法。以下即详述这种办法。

我们不难发现，前面叙述的加法累数制的罗马记数和乘法累数制的中国记数有一个共同特点：新的单位必须创造新的名称———无论是罗马的“X”和中国的“十”，都是表示新的单位的符号。而位值制的漂亮在于不需要创造新的符号表示新的单位。比如，表示“20”，不需要写成“XX”或“二十”，只需要把表示“2”的符号写到表示“十”的位置上即可。同样是这个“2”，还可以表示“200”，或“2000”……一个数码表示什么数值，就看它在什么位置上，这就是位值的含义。

中国算筹记数与位值制雏形

中国算筹记数法非常接近位值制。古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～14cm，径粗0.2～0.3cm，多用竹子制成。也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的。大约二百七十几根为一束，放在一个布袋里，系在腰间随身携带，需要记数和计算时就取出来。