●方亚斌

(南头中学 广东深圳 518052)

一道国外数学名题的研究性学习*

●方亚斌

(南头中学 广东深圳 518052)

文章以第2届“友谊杯”国际数学邀请赛的一道试题为题根，通过类比推广、拓展构造、变换移植，演绎出一批又一批形式优美、风格独特的经典试题,让名题的价值世代相传.

特例;推广;置换;拓展;演绎

例1 已知a,b,c>0,求证：

(a+b+c).

(第2届“友谊杯”国际数学邀请赛试题)

这道世界名题犹如一颗闪烁的明珠，璀璨夺目，光彩照人，历经岁月不断的洗礼，仍旧闪烁着真理的光辉，传承着名题的智慧和力量.几十年来，以这道名题为背景，各级各类命题专家探骊寻珠，通过类比推广、拓展构造、变换移植，演绎出一批又一批形式优美、风格独特的经典试题,让名题的价值世代相传.

为了便于探究，笔者首先考察问题的由来：

笔者将从6个角度进行探究.

探究思路1 特例考察

考察式(1)的特例：令a+b+c=1，得：

(2014年哈尔滨工程大学自主招生试题)

探究思路2 推广引申

考察式(1)的一般情形,将3个正数推广为n个正数a1,a2,…,an,由上述推导过程，易知

令a1+a2+…+an=1,可得：

(第24届全苏中学生数学竞赛10年级试题第2题)

例3的等价问题是：

例4 设ai,bi∈R+(其中i=1,2,…，n),且a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn,求证:

(1991年亚太地区数学竞赛试题第3题)

例3或例4的一个变式问题是：

(《数学通报》1994年11月号问题925)

探究思路3 置换分母

根据式(1)的结构特征,若保持左边的分子不变,置换分母，则可以衍生一批新的不等式.

若将式(1)左边的3个分母b+c,c+a,a+b分别用a+b,b+c，c+a替换，分子不变，则可得式(1)的一个“孪生”不等式：

例6 若a,b,c>0，则

(a+b+c).

(《数学通报》1995年4月号问题946)

式(2)显然成立(事实上,由式(1)推导过程不难知道，其左边3项的分母b+c,c+a,a+b可以按照任意次序交换，分子不变，不等式仍然成立).若将式(1)左边的3个分母b+c,c+a,a+b分别用b+c-a,c+a-b,a+b-c替换，分子不变，可得:

例7 设a,b,c是△ABC的3条边，求证：

c.

(《数学教学》1996年1月号问题384)

若将式(1)左边的3个分母b+c,c+a,a+b分别用b-1,c-1,a-1替换，分子不变，则可得:

(《数学教学》1999年4月号问题488)

例8的一种退化情形是：

(第26届独联体数学奥林匹克竞赛10年级试题第1题)

例8和例9的一般情形是:

例10 如果ai>1(其中i=1,2,…,n),则

事实上，由柯西不等式的变式可得

若考察例8的一个类似情形，即假定a>b>c,则

进一步可得：

(第32届乌克兰数学竞赛试题)

若将式(1)左边的3个分母b+c,c+a,a+b分别用b+2c,c+2a,a+2b替换，则

若令a+b+c=1,或abc≥1,则可得：

例12 已知正数x,y,z满足x+y+z=1，求证：

(2009年浙江省数学高考自选模块试题)

(2010年浙江省数学高考自选模块试题)

探究思路4 置换分子

根据式(1)的结构特征,若保持分母不变，适当改变分子的次数，则又可以衍生一批新的不等式.

如将式(1)的分子a2,b2,c2分别用a,b,c替换，分母不变,注意到

(第26届莫斯科数学奥林匹克竞赛试题)

例14的一般情形是：

例15 设ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且n≥2,a1+a2+…+an=s,求证：

(1976年英国数学竞赛试题)

例15的一个变式是：

例16 设ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且a1+a2+…+an=1,求证：

(1982年西德数学奥林匹克竞赛试题)

同理可得

2个式子相加得

从而

同理可得

3个式子相加得

由柯西不等式知

即

若令a+b+c≥1,可得:

(2013年摩尔多瓦国家集训队试题)

式(1)的“孪生”不等式为

(a+b+c).

将左边的分子a2,b2,c2分别用a3,b3,c3替换，分母不变，便有

(4)

式(4)+式(1),得

若再令a+b+c=1，可得:

例18的推广形式如下：

例19 设ai∈R+(其中i=1,2,…,n)，且a1+a2+…+an=1,求证：

式(4)可以拓展为:

例20[1-2]设ai∈R+(其中i=1,2,…,n),且n≥2,求证：

(1996年《数学教学》5月号问题405)

若再令a1a2+a2a3+a3a4+a4a1=1,可得:

例21 设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数，求证：

(第31届IMO预选试题)

探究思路5 换元改造

进一步得：

(《数学教学》1995年3月号问题364)

若把式(1)中的a,b,c分别用bc,ca,ab替换,且令abc=1,则

即

进一步得：

(第36届IMO试题)

即

进一步得：

(2009年韩国数学奥林匹克试题)

探究思路6 拓展演绎

若将式(1)左边的3个分母b+c,c+a,a+b分别用3个正数b,c,a替换，则

(5)

若令a+b+c=1,则可得：

(2013年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题第24题)

若将式(5)左边的3个分母b,c,a分别用c,a,b替换，分子不变，则可得式(5)的一个“孪生”不等式

若令a+b+c=1，并去分母,则可得a3b+b3c+c3a≥abc，这就是：

例26 设正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：a3b+b3c+c3a≥abc.

(1984年列宁格勒数学竞赛试题)

式(5)的一般情形是：

(1984年全国高中数学联赛第2试试题)

式(5)还可以作如下变形

(b+c)2(c+a)(b-a)+(c+a)2(a+b)(c-b)+(a+b)2(b+c)(a-c)≥0,

再将上式中的b+c,c+a,a+b分别a′,b′,c′替换，容易验证a′+b′>c′，b′+c′>a′,c′+a′>b′,则a′,b′,c′可看成是一个三角形的3条边长,得

a′2b′(a′-b′)+b′2c′(b′-c′)+c′2a′(c′-a′)≥0,

进一步得：

例28 设a,b,c是一个三角形的3条边长，求证：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并判断等号何时成立.

(第24届IMO试题)

笔者希望通过对例1的探究，让读者在品味数学名题背景、感受数学名题魅力的同时，体会到数学名题的科学价值和文化价值，“润物细无声”般地受到数学名题的熏陶，进而提高兴趣、增强素养、明澈思维、启迪心智、丰富情感、完善人格，收获数学名题的知识、方法、思想、能力，领略数学名题给我们带来的力量、情怀和温暖.

[1] 查正开.探究一类分式不等式[J].中学数学，2014(1):28-31.

[2] 杨晋.一个不等式变形的应用[J].中学数学月刊，1999(12):44-46.

2016-11-30；

2016-12-30

2014年广东省教育研究院教育研究课题(GDJY-2014-A-b390)；2016年广东省深圳市遴选“好课程”(深教[2016]619号)部分内容

方亚斌(1964-),男，湖北黄梅人，湖北省特级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)04-20-06