邵雪杰，顾圣平，曹爱武，何海祥，于婷婷

(河海大学 水利水电学院，南京 210098)

多沙河流水沙变化特征小波分析

邵雪杰，顾圣平，曹爱武，何海祥，于婷婷

(河海大学 水利水电学院，南京 210098)

为了给多沙水库运行调度提供依据，降低水沙序列长度和随机性的影响，将小波变换应用于研究流域径流与含沙量的变化特性。采用db3小波对标准化径流与含沙量序列进行多分辨率分析，研究径流与含沙量变化的趋势性；选用复Morlet小波绘制出小波方差图，分析径流过程与含沙量过程存在的周期性。以崖羊山水电站所在的李仙江流域为例，针对电站坝址断面的月平均流量与含沙量序列进行小波分析，从低频重构序列的结果中可以看出该流域径流与含沙量的变化趋势；并结合当地的降雨量与水土保持状况分析，表明结果是合理的。根据小波方差图可以看出，崖羊山水电站所在流域径流过程与含沙量过程存在非常接近的显著周期，均为2 a左右，且两者变化周期具有同步性。研究结果表明小波分析是研究非平稳随机时间序列的有效方法。

小波变换；水沙序列；径流；含沙量；时间尺度；多分辨率分析；小波方差

水沙序列一般是非平稳的离散等间距序列，具有随机性与周期性[1]。为了给多沙水库运行调度提供依据，需要掌握水库所在流域水沙序列的变化规律。以往的水文学中常常用谱分析法和相关分析法来分析水沙序列的变化特性，前者受序列长度影响较大，后者受数据的随机性影响较大。由于具备较好的时频局部化的特点，小波分析方法非常适合用于显示水沙时间序列的细微结构[2]，其核心为小波变换。小波变换通过计算数据中能反映变化特性的小波变换系数，降低序列长度和随机性的影响，能够凸显序列的变化规律。

1 小波分析原理

(1)

式中：ψa,b(t)为子小波；a为尺度伸缩因子，又称频域参数；b为时间平移因子，又称时域参数。

(2)

当研究离散函数f(iΔt)(i=1,2,…,N；N为样本容量；Δt为取样时间间隔)时，式(2)的离散形式表达为

(3)

当基本小波满足容许性条件时，即

(4)

(5)

2 小波理论在水沙序列分析中的应用

水沙序列受季节变化的影响。为降低这类影响，在小波理论应用到水沙序列分析之前，一般对原始序列进行标准化处理[4]，即

(6)

2.1 水沙序列趋势性分析

水沙序列过程一般认为由3部分构成，即趋势项、随机项以及周期项。其中趋势项对应序列的低频成分，随机项对应序列的高频成分。

应用小波理论进行水沙序列分析时，首先要选择适当的小波函数，通常有2种方法：一种是通过多次试算来挑选误差较小的小波函数；另一种方法是参照研究对象的分布形态特征[5]，依靠经验选择与其序列形态相近的小波函数，本文使用的是这种方法。dbN小波是一种具有N阶消失矩的紧支撑正交小波[6]。当N取3时，即db3小波，其尺度函数和小波函数存在明显的波峰和波谷[7]，能较好地反映标准径流与含沙量序列的丰枯变化，选用其作为基本小波进行水沙序列趋势性分析比较合适。db3小波的小波基(尺度函数和小波函数)没有明确的解析表达式，可以通过给定的滤波器生成。

在实际研究过程中，水沙时间序列大多是离散的，运用相应的离散小波变换对水沙序列进行趋势性分析，通常从多分辨率分析(MRA)的方法入手，其基本原理为：对∀f(t)∈L2(R)，都可以分解为

(7)

设f1,f2∈L2(R)，它们的内积定义为

(8)

低频成分在更低的分辨率下还可以进一步分解成高频成分与低频成分，分解公式为

(9)

其中：

图1 多分辨率分析过程Fig.1 Process of Multiple Resolution Analysis (MRA)

相应地，分辨率为M的低频成分重构公式为

(10)

多分辨率分析逐步地去除高频成分，使得低频成分得以保留，水沙序列的总体趋势性越来越明显。

2.2 水沙序列周期性分析

在周期分析方面，本文选用复Morlet小波[8]作为水沙序列周期分析的基本小波，其小波函数为

(11)

式中:ω0为常数；i为虚数单位。与实数小波相比，复数小波更能准确地反映水沙序列各时间尺度的周期大小及其在时域中的分布。

径流与含沙量序列经过复Morlet小波变换后可得到小波变换系数的模及实部。分析小波变换系数的实部，可判断同一时间尺度的信号在不同时域的强弱，信号较强的时间段即为大致的周期范围。

在上述所得到的周期范围的基础上，借助小波方差，可以进一步确定序列隐含的显著周期。方差的大小反映不同时间尺度自身信号的强弱，方差越大，信号越强[9]。当小波方差达到最大值时，小波函数所选的尺度与隐含周期匹配度最高。离散时间序列的小波方差可以根据方差公式计算得出，其公式为

(12)

式中W(a,xj)代表频域参数为a、时域参数为xj时的小波变换系数。由式(12)可知，在尺度a处，方差V(a)等于每个样本对应的小波变换系数平方W2(a,xj)的均值。对于复小波函数的W2(a,xj)而言，即为小波变换系数模的平方。

3 实例分析

本文以崖羊山水电站所在的云南省思茅地区的李仙江流域为例，针对电站坝址断面的月平均流量与径流含沙量序列，进行小波分析，研究水沙序列的趋势性和周期性特征。

3.1 数据标准化

根据电站坝址处的月平均流量与对应的平均含沙量序列(1976—1995年，以月为单位，各240个样点)，运用式(6)进行标准化处理，得到标准化的月平均流量序列和平均含沙量序列(见图2)。

图2 标准化处理序列与低频重构序列对比Fig.2 Comparison between standardized monthly series and reconstruction series of the lowest frequency

3.2 水沙序列趋势性小波分析

采用多分辨率分析方法，以db3小波为基本小波，对水沙序列进行分辨率为7(分辨率取log2N，N为样本容量)的小波分解，提取序列的低频成分。

径流与含沙量序列的小波分解重构结果如图2中的点划线所示。为直观起见，作经过低频重构序列突变点(2个序列的突变点均为样点133处，对应于1987年1月)的水平直线，可以看出在突变点两侧，2个序列的趋势明显不同，径流呈先下降后上升趋势，含沙量呈先上升后下降趋势。

图3 年降雨量序列Fig.3 Yearly rainfall series

经分析，径流的趋势性改变可能与该流域降雨量变化有关[10]。根据李仙江流域实测的降雨量序列(见图3)可以看出，年降雨量在1976—1987年大致呈下降趋势，在1987—1995年大致呈上升趋势，径流的趋势性变化基本与降雨量变化同步，二者是正相关关系。而含沙量的趋势性改变可能与该流域水土保持状况有关。在20世纪80年代中期之前的一段时期内，该流域上游地区的森林覆盖率较低，土壤侵蚀较强，且一度有逐年加重的趋势，导致径流的含沙量不断升高。自80年代中期前后起，该地区逐渐认识到水土流失的危害性，开始重视水土保持建设，采取退耕还林、植树造林的措施，逐渐恢复并增加森林植被的覆盖面积，使得径流含沙量呈下降趋势。

3.3 水沙序列周期性小波分析

对径流与含沙量序列，经过复Morlet小波变换后可得到小波变换系数的模及实部，其实部的时频分布如图4所示。图4中图例是色标，亮度最大为1，最小为0，实部越大，对应的亮度也越大，相应的时间尺度信号越强。从图中可看出径流序列和含沙量序列分别存在时间尺度为42～54个月与40～58个月的周期。

图4 标准月径流序列与含沙量序列复Morlet 小波变换系数实部的时频分布Fig.4 Real part of CWT for standardized monthly flow series and sediment series using complex valued Morlet wavelet

根据式(12)计算得到2个序列的小波方差,见图5。

图5 径流与含沙量小波方差Fig.5 Flowandsedimentwaveletvariance

由图5可知，2个序列小波方差的最大峰值均出现在时间尺度为48处，表示该时间尺度下的周期振荡最强，即可判断径流与含沙量序列的大周期应该为48个月，约4a；第2大峰值均出现在时间尺度为24处，可判断小周期应该为24个月，约2a。

从实部的时频分布中抽取2个序列大周期对应的纵坐标(时间尺度)的序列，绘制对应时间尺度下的小波变换系数(实部)图，结果如图6所示。

图6 径流与含沙量序列大周期(4a)对应的复Morlet小波变换系数的实部时频分布Fig.6 RealpartofcomplexvaluedMorletwaveletcoefficientcorrespondingtothedominantperiod(4years)offlowseriesandsedimentseries

图6中复小波变换系数实部为正数时，代表流量与含沙量在此时段偏多，对应丰水期；为负数时，代表流量与含沙量在此时段偏少，对应枯水期。可以明显看出2个序列的大致变化规律是在2年一个小周期内均呈1年大1年小的交替变化，且二者的周期大小变化在时域上基本同步。

4 结 语

采用db3小波对水沙序列进行多分辨率分析，研究径流与含沙量变化趋势；选用复Morlet小波分析水沙序列的隐含周期，结果合理可信。表明小波分析作为时频分析的重要手段能够较为准确地反映水沙序列的变化特性，降低序列长度和随机性的影响，进而为多沙水库运行调度决策提供科学依据。

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(编辑：陈 敏)

Wavelet Analysis on Flow and Sediment Variation in Sandy Rivers

SHAO Xue-jie, GU Sheng-ping, CAO Ai-wu, HE Hai-xiang, YU Ting-ting

(College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University,Nanjing 210098, China)

In the aim of providing basis for the operation of sandy reservoir and reducing the influences of length and randomness of flow and sediment series, wavelet transform was adopted to analyze the variation characteristics of flow and sediment series. Standardized monthly flow and sediment series were decomposed by Multi-resolution Analysis using the db3 wavelet function, and continuous wavelet transform was used to evaluate the periodic variations of the two standardized series using the complex valued Morlet function. The flow and sediment series at the dam site of Yayangshan Hydropower Station located in Lixianjiang watershed were taken as an example. The reconstruction of the lowest frequency part revealed the trend of the flow and sediment series. According to the local rainfall and soil and water conservation, the result is considered reasonable. Wavelet variances were obtained to identify the dominant period as 2-year approximately for both flow series and sediment series and reveal the synchronization between them. The results indicate that wavelet transform is effective for nonstationary stochastic series analysis.

wavelet transform; flow and sediment series; runoff; sediment concentration; time scale; multi-resolution analysis; wavelet variances

2016-05-19；

2016-06-26

国家“十二五”科技支撑计划项目(2013BAB06B01)

邵雪杰(1992-)，男，江苏南通人，硕士研究生，研究方向为水利水电系统规划与工程经济，(电话)15850603872(电子信箱)1289770074@qq.com。

顾圣平(1957-)，男，江苏泰州人，教授，硕士，研究方向为水利水电系统规划与工程经济，(电话)13951893043(电子信箱)spgu@hhu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20160482

2017,34(5):5-8

P333.9

A

1001-5485(2017)05-0005-04