吴鑫育，李心丹，马超群

(1. 安徽财经大学金融学院，安徽 蚌埠 233030；2. 南京大学工程管理学院，江苏 南京 210093；3. 湖南大学工商管理学院，湖南 长沙 410082)



门限已实现随机波动率模型及其实证研究

吴鑫育1，2，李心丹2，马超群3

(1. 安徽财经大学金融学院，安徽 蚌埠 233030；2. 南京大学工程管理学院，江苏 南京 210093；3. 湖南大学工商管理学院，湖南 长沙 410082)

为了捕获资产收益率均值和波动率双重非对称性, 以及充分利用包含丰富日内信息的高频数据来提取波动率信息, 将门限效应和已实现波动率测度同时引入标准的随机波动率(SV)模型中, 构建了门限已实现SV(TRSV)模型对资产收益率的波动率建模. 进一步, 基于有效重要性抽样(EIS)技巧, 给出了TRSV模型的极大似然(ML)参数估计方法. 蒙特卡罗模拟实验表明, EIS-ML参数估计方法是有效的. 最后, 采用上证综合指数和深证成份指数日内高频数据对TRSV模型进行了实证检验. 结果表明: TRSV模型相比已实现SV(RSV)模型具有更好的数据拟合效果, 能够有效地刻画我国股票市场收益率的波动率动态特征, 证明了我国股票市场收益率具有强的波动率持续性以及显著的均值和波动率双重非对称性。

随机波动率; 门限效应; 非对称性; 已实现波动率; 有效重要性抽样

1 引言

资产收益率的波动率在资产组合配置、风险管理以及期权定价中都扮演着重要的角色。因此研究波动率动态性特征, 对波动率进行建模, 具有重要的理论价值和实践意义。 研究表明, 资产收益率的波动率具有时变性和聚集性。随机波动率(SV)模型被广泛应用于建模波动率的这种动态特征。SV模型假设条件方差由隐含的AR(1)随机过程生成, 由于其在建模上的灵活性以及实际中对金融时间序列拟合的优越表现, 它在金融计量经济学文献中引起了广泛的关注[1-4]。

标准的SV模型对于描述资产收益率序列的经验特征事实仍过于局限。近年来, 越来越多的研究发现, 利好消息(资产收益率正向冲击)和利空消息(资产收益率负向冲击)对资产收益率的波动率的影响具有非对称性。对这种现象(波动率非对称性)的一种经典解释为“杠杆效应”(Leverage effect)[5- 6]。标准的SV模型不能捕获杠杆效应。为了克服这个问题, Harvey和Shephard[7]、Jacquier等[8]和Yu Jun[9]将杠杆效应引入标准的SV模型, 构建了杠杆SV(LSV)模型对波动率进行建模, 研究发现其具有更好的数据拟合效果。最近, So等[10]提出对波动率非对称性的另一种解释——门限效应(Threshold effect)。基于此, 他们提出了一个新的对波动率非对称建模的思路: 将门限效应引入标准的SV模型, 构建了门限SV(TSV)模型对波动率进行建模。与LSV模型只能捕获单一的波动率非对称性相比, TSV模型由于能够同时捕获资产收益率均值和波动率双重非对称性而具有更好的数据拟合效果, 并引起了学者们广泛的关注, 例如Asai和McAleer[11]、Chen等[12]、So 和Choi[13-14]、Wu Xinyu等[15]和吴鑫育等[16-17]。

传统的波动率模型(例如GARCH模型和SV模型)采用日度收益率数据建模, 并以此来提取波动率信息。由于低频日度收益率数据包含的信息有限, 不能完全反映资产价格日内实际变动情况, 造成提取的波动率信息往往存在偏差。特别是在金融市场高波动时期, 这种偏差愈加明显, 进而造成风险度量和期权定价大的偏差。近年来, 随着电子化交易的普及和信息存储技术的发展, 包含丰富日内信息的高频数据已经广泛可得, 基于高频数据构建的已实现波动率测度在金融计量经济学文献中获得了广泛的关注[18-21]。为了充分利用已实现波动率测度所包含的丰富日内信息, Takahashi等[22]最先将已实现波动率测度引入标准的SV模型, 构建了对日度收益率与已实现波动率测度同时建模的已实现SV(RSV)模型。Barndorff-Nielsen和Shephard[21]研究表明, 在理想的市场条件下, 已实现波动率是真实日度波动率的渐近一致估计量。但实际中由于存在市场微观结构噪声(例如买卖报价差和非同步交易)和非交易时间(例如隔夜和午休时间), 已实现波动率是真实日度波动率的一个有偏估计。基于RSV模型能够同时给出已实现波动率测度的偏差与参数估计, 提高风险度量准确性。随后, 众多学者对RSV模型进行了广泛的研究, 例如Koopman和Scharth[23]、Shirota等[24]、Venter和de Jongh[25]、Zheng Tingguo和Song Tao[26]和Takahashi等[27]。但到目前为止, 据我们所知, 国内对RSV模型的研究还鲜有见到, 且已有关于RSV模型的研究没有考虑到资产收益率均值和波动率(双重)非对称性。

基于以上认识, 为了捕获资产收益率均值和波动率双重非对称性, 同时充分利用包含丰富日内信息的高频数据来提取波动率信息, 结合TSV和RSV模型的建模思想, 本文在标准的SV模型中同时引入门限效应和已实现波动率测度, 构建门限已实现SV(TRSV)模型对资产收益率的波动率进行建模。为了估计TRSV模型的参数, 给出有效、计算量小且易于实现的基于有效重要性抽样(Efficient Importance Sampling, EIS)技巧的极大似然(ML)参数估计方法。最后, 采用上证综合指数和深证成份指数日内高频数据对构建的TRSV模型进行实证检验。

2 模型设定

标准的SV模型设定为:

xt=ψ0+ψ1xt-1+σexp(ht/2)εt,εt～i.i.d.(0,1)

(1)

ht+1=φht+γηt+1,ηt+1～i.i.d.N(0,1)

(2)

标准的SV模型能够有效地捕获时变波动率和波动率聚集性, 但它对于描述金融资产收益率序列的其它一些重要特征事实仍过于局限。根据So等[10]的研究, 正的和负的资产收益率对均值和波动率过程的行为都会产生不同的影响, 即存在均值和波动率双重非对称性。标准的SV模型不能捕获资产收益率的这一重要特征事实。此外, 标准的SV模型仅针对低频日度收益率数据建模, 没有充分考虑包含丰富日内信息的高频数据, 导致信息的损失, 从而造成提取的波动率信息可能存在偏差。基于以上分析, 本文结合So等[10]和Takahashi等[22]的建模思想, 将门限效应和已实现波动率测度同时引入标准的SV模型, 构建如下能够捕获资产收益率均值和波动率双重非对称性, 融合低频日度收益率与高频已实现波动率测度数据信息的TRSV模型对波动率进行建模:

xt=ψ0st-1+ψ1st-1xt-1+σst-1exp(ht/2)εt

(3)

(4)

ht+1=φstht+γηt+1,ηt+1～i.i.d.N(0,1)

(5)

状态变量st定义为

(6)

可以看到,st根据t时刻资产收益率xt的取值(小于0或大于等于0)在两个区制之间转换。如果在t时刻有利空消息到来, 资产价格下降(资产收益率负向冲击), 则有xt<0和st=0; 反之, 如果在t时刻有利好消息到来, 资产价格上升(资产收益率正向冲击), 则有xt≥0和st=1。因此, 参数ψ0st、ψ1st、σst和φst均在模型的两个状态st={0,1}之间转换。当ψ0st和ψ1st在两状态下均相等, 则表明资产收益率不存在均值非对称性, 反之表明存在均值非对称性; 当σst和φst在两状态下均相等, 则表明资产收益率不存在波动率非对称性, 反之表明存在波动率非对称性。特别地, 如果σ0>σ1, 表明与利好消息相比, 同等程度的利空消息会引起资产收益率更高的波动性; 如果φ0≥φ1, 表明与利好消息相比, 同等程度的利空消息会引起资产收益率更强的波动率持续性, 即表明利空消息对资产收益率的影响程度要大于同等程度的利好消息对资产收益率的影响程度.

在TRSV模型(3)-(6)中, 均值和波动率过程均服从一个门限AR(1)模型, 本质上属于Tong和Lim[29]提出的门限时间序列模型族。容易看到, 当ψ00=ψ01、ψ10=ψ11、σ0=σ1以及φ0=φ1,TRSV模型退化为RSV模型。

金融资产收益率普遍展现“偏斜”和“厚尾”的分布特征, 虽然SV模型结构本身能够描述金融资产收益率数据一定的偏度和峰度, 但仍不足以拟合数据[30]。为此, 沿袭传统SV模型文献解决这个问题的思路, 本文采用能够充分刻画资产收益率分布的“偏斜”和“厚尾”特征的标准SKt分布[31](均值为0, 方差为1)作为TRSV模型中资产收益率新息εt的分布:

f(εt|ξ,ν)=

(7)

其中：

g[·|ν]是自由度为2<ν≤∞的标准学生t分布,ξ>0控制分布的偏斜度, 当lnξ>0, 分布正偏, 当lnξ<0, 分布负偏, 当lnξ=0, 标准SKt分布退化为标准学生t分布。

(8)

其中Γ(·)是Gamma函数。进一步, 当ν→∞, 学生t分布收敛于正态分布。

3 估计方法

由于包含不可观测的状态变量——波动率, SV模型的参数估计比较困难。一些参数估计方法, 例如广义矩方法(GMM)、有效矩方法(EMM)和MCMC方法等已经用于SV模型的参数估计。但这些估计方法要么计算复杂, 要么不是有效的[32]。本文运用EIS-ML方法估计TRSV模型的参数。EIS-ML方法本质上属于ML方法, 有着良好的统计性质, 如一致性、渐近正态性, 且计算量相对较小、易于实现, 因此该方法相比其它估计方法具有明显的优越性。

设x={x0,x1,…,xT}′和y={y1,y2,…,yT}′是观测值向量,h={h1,h2,…,hT}′是不可观测状态向量(h0当作未知参数进行估计)。TRSV模型的似然函数可以写为：

(9)

其中Θ是TRSV模型的参数向量,p(x,y,h;Θ)是x,y和h的联合密度函数, 可以写为：

(10)

实际中, 式(9)是一个复杂的高维积分, 无法采用数值方法直接求解。为了克服这个问题, 本文运用EIS技巧来估计(9)。EIS技巧由Richard和ZhangWei[33]提出, 它易于实现, 且可以获得SV模型高维积分似然函数的全局精确蒙特卡罗逼近。根据Richard和ZhangWei[33]的研究, 设定EIS密度的形式为:

(11)

(12)

其中kt(ht|xt-1,ht-1,at)是预先确定的参数化密度核函数,at是EIS辅助参数。

本文选取密度核函数

kt(ht|xt-1,ht-1,at)=p(ht|xt-1,ht-1,Θ)

定义EIS辅助参数为at′=(a1,t,a2,t)。此时EIS密度mt(ht|xt-1,ht-1,at)是正态密度, 且其均值与方差分别为：

(13)

(14)

TRSV模型似然函数(9)可以改写为：

L(x,y;Θ)=χ1(x0,h0;a1)·

(15)

其中χT+1(·)≡1。由此, 得到似然函数L(x,y;Θ)的EIS-蒙特卡罗估计为：

(16)

EIS技巧旨在通过选择合理的辅助参数向量at, 以最小化式(16)的蒙特卡罗估计方差。根据Richard和ZhangWei[33]的研究, 它可以通过求解如下向后递归的辅助最小二乘问题实现:

(17)

综合起来, 估计TRSV模型似然函数的EIS算法具体步骤如下:

步骤2：向后递归地求解最小二乘问题(17), 或等价地作如下的线性回归(t:T→1):

(18)

步骤4：重复步骤2和3, 直到收敛;

得到TRSV模型参数的EIS-ML估计为:

(19)

(20)

4 模拟实验

这部分构建蒙特卡罗模拟实验检验第3部分给出的EIS-ML参数估计方法的精确性和有限样本性质。设定TRSV-SKt模型真实参数值为:ω=-0.5，ζ=1，δ=0.4，ψ00=0，ψ01=0，ψ10=-0.1，ψ11=0.1，σ0=0.015，σ1=0.014，φ0=0.95，φ1=0.97,γ=0.24，ξ=1，ν=30。参数值的设定基于第5部分的实证结果。根据“真实的”TRSV-SKt模型(3)-(7)模拟生成T=2000个样本长度的观测序列(收益率及对数已实现波动率序列)。对每一模拟的观测序列, 运用EIS-ML方法进行估计, 重复模拟和估计实验50次获得参数估计的均值、标准差和均方根误差(RMSE)。EIS-ML算法采用MATLAB软件编程, 在Windows7计算机上实现。

表1给出了数值模拟的实验结果。可以看到, 除了参数ν的估计存在轻微的高估外, 其它参数估计的均值均接近于相应的真实值, 估计标准差也都非常小, 表明EIS-ML估计方法是比较精确的。参数估计的RMSE都接近于标准差, 表明估计的有限样本偏差很小。综上, 运用EIS-ML方法估计TRSV-SKt模型, 可以获得合理和有效的参数估计结果。

表1 数值模拟结果

注: EIS抽样数S=32, 迭代5次, 重复模拟实验50次获得参数估计的均值、标准差和均方根误差(RMSE)。

5 实证研究

5.1 数据与已实现波动率测度

本文采用上证综合指数和深证成份指数日度收盘价格和日内5分钟高频交易价格数据作为研究样本。5分钟抽样频率的选择是基于对已实现波动率的估计偏差与方差(市场微观结构噪声与信息损失)的权衡。鉴于我国股票市场在2005年开始实施了重大市场改革, 本文数据抽样的时间跨度为2005年1月4日至2014年12月2日, 两指数均为2401个日度观测值和115248个日内观测值。所有数据均来源于天软数据库。

Barndorff-Nielsen和Shephard[21]研究表明, 在不存在市场微观结构噪声以及资产可一直连续交易的情形下, 已实现波动率RV依概率收敛于积分波动率(IntegratedVolatility,IV)或真实日度波动率。然而, 实际中由于存在市场微观结构噪声以及非交易时间, 已实现波动率并非积分波动率的无偏估计, 而是存在着向上(源于市场微观结构噪声)或向下(源于非交易时间)的偏差, 例如赵树然等[34], 刘志东和严冠[35]。

表2给出了上证综合指数和深证成份指数日度收益率(xt)和对数已实现波动率(yt)的描述性统计量。从表2可以看到, 两指数日度收益率的分布均呈现负偏态(偏度<0), 且存在厚尾特征(峰度>3), 两指数收益率都拒绝正态分布的假定(Jarque-Bera统计量显著)。两指数对数已实现波动率均呈现正偏态(偏度>0), 也都拒绝正态分布的假定(Jarque-Bera统计量显著), 但比较接近于正态分布(峰度接近于3,Jarque-Bera值相对较小)。滞后10阶的Ljung-Box检验结果表明, 两指数日度收益率与对数已实现波动率序列都存在显著的自相关性。ARCH效应检验表明, 两指数日度收益率与对数已实现波动率序列都存在显著的异方差性, 这也肯定了引入SV模型建模波动率的合理性。

表2 日度收益率(xt)与对数已实现波动率(yt)的描述性统计量

注: ()中是检验统计量p-值。

图1和图2给出了上证综合指数和深证成份指数日度收盘价格、日度收益率、经验收益率密度及已实现波动率图。从图1和图2可以看出, 两指数日度收益率序列在抽样阶段内均展现明显的波动率时变性和波动率聚集性特征, 均具有典型的厚尾分布特点, 且呈现非对称的分布, 对数已实现波动率Q-Q图表明其接近于正态分布。

图2 深证成份指数: (a) 日度收盘价格; (b) 日度收益率; (c) 经验收益率密度; (d) 收益率Q-Q图; (e) 已实现波动率; (f) 对数已实现波动率Q-Q图

5.2 参数估计结果

运用第3部分给出的EIS-ML参数估计方法以及5.1节给出的上证综合指数和深证成份指数数据, 得到TRSV模型(TRSV-N模型、TRSV-t模型和TRSV-SKt模型, 其中:N代表正态分布,t代表学生t分布,SKt代表偏斜学生t分布)的参数估计结果如表3和表4所示。为了比较, 表3和表4也给出了RSV模型(RSV-N模型、RSV-t模型和RSV-SKt模型)的参数估计结果。

从表中可以看到, 上证综合指数和深证成份指数已实现波动率的线性偏差修正参数ω的估计值均明显小于0, 表明中国股票市场的非交易时间效应要强于微观结构噪声效应, 两指数已实现波动率均存在线性偏差。上证综合指数ω估计值的绝对值大于深证成份指数ω估计值的绝对值, 表明上证综合指数已实现波动率的线性偏差大于深证成份指数已实现波动率的线性偏差。两指数已实现波动率的非线性偏差修正参数ψ的估计值均接近于1, 表明已实现波动率不存在明显的非线性偏差, 与Hansen等[36]基于美国股票市场数据的实证结果一致。

在RSV模型中, 两指数收益率自相关系数ψ1的估计值在0.03至0.05之间, 都接近于0, 表明两指数收益率序列均存在弱的自相关性。在TRSV模型中, 两指数收益率自相关系数ψ10和ψ11的估计值符号相反, 表明中国股票市场收益率存在均值非对称性。在区制xt<0，ψ10估计值为负, 在区制xt≥0，ψ11估计值为正, 与So等[10]的估计结果一致, 这可以解释上证综合指数和深证成份指数收益率序列的弱自相关性。σ0的估计值均不同于σ1的估计值, 表明中国股票市场收益率存在波动率非对称性, 且σ0估计值均大于σ1估计值, 说明与利好消息相比, 同等程度的利空消息会引起中国股票市场更高的波动率, 也即利空消息对中国股票市场的影响大于同等程度利好消息对中国股票市场的影响。波动率持续性参数φ(RSV模型)、φ0和φ1(TRSV模型)的估计值均接近于1, 表明中国股票市场具有强的波动率持续性特征。φ1估计值均大于φ0估计值, 说明利好消息对中国股票市场的影响相比同等程度利空消息对中国股票市场的影响更具有持续性。这与吴鑫育等[16-17]基于2001年至2011年中国股票市场数据得到的研究结论正好相反, 说明中国股票市场正在经历转变, 投资者对消息的反应模式发生变化。综上, 中国股票市场具有强的波动率持续性以及显著的均值和波动率双重非对称性。

两指数t分布和SKt分布参数(ξ,ν)的估计结果表明, 两指数收益率新息分布的偏斜厚尾性并不显著(ξ估计值接近于1,ν估计值较大), 这与Takahashi等[27]的实证结果一致, 表明已实现波动率的引入消除了收益率新息分布的偏斜厚尾性, 因此偏斜厚尾分布并不总能改进已实现波动率模型的数据拟合效果。从对数似然值和AIC值来看,TRSV模型在沪深股市均具有比RSV模型更好的数据拟合效果, 沪市TRSV-t具有最好的数据拟合效果, 深市TRSV-N具有最好的数据拟合效果。

表3 参数估计结果: 上证综合指数

注: EIS抽样数S=32, 迭代5次;Log-lik是对数似然值;AIC是赤池信息准则; ()中是EIS-ML估计的渐近标准误差。

表4 参数估计结果: 深证成份指数

注: EIS抽样数S=32, 迭代5次;Log-lik是对数似然值;AIC是赤池信息准则; ()中是EIS-ML估计的渐近标准误差。

最后, 基于表3和表4给出的TRSV模型参数估计结果, 运用式(20)(取Ψ(x)=exp{x/2})计算得到上证综合指数和深证成份指数滤过的波动率序列如图3和图4所示。可以看到, 波动率的变化特征与指数收益率的变化特征基本吻合, 表明TRSV模型能够较好地描述两指数收益率变化的时变波动率特征。特别地, 从图3和图4还可以看到, 在2008-2009年全球金融危机和2010年欧债危机期间, 中国股票市场表现出较高的波动性。

图3 波动率估计: 上证综合指数

图4 波动率估计: 深证成份指数

6 结语

本文将门限效应与已实现波动率测度同时引入标准的SV模型中, 构建了TRSV模型对波动率建模。该模型能够捕获资产收益率均值和波动率双重非对称性, 同时充分利用了包含丰富日内信息的高频数据, 基于该模型可以获得更为精确的波动率信息。为了估计TRSV模型的参数, 本文给出有效、计算量小且易于实现的EIS-ML参数估计方法。蒙特卡罗模拟实验表明, 该参数估计方法是有效的。采用上证综合指数和深证成份指数日内高频数据, 本文对构建的TRSV模型进行了实证检验。结果表明: TRSV模型相比RSV模型具有更好的数据拟合效果, 能够有效地刻画我国股票市场收益率的波动率动态特征, 捕获2008-2009年全球金融危机和2010年欧债危机; 中国股市具有强的波动率持续性, 并且存在显著的均值和波动率双重非对称性, 具体而言, 利空消息相比同等程度的利好消息会引起中国股票市场更高的波动率以及更低的波动率持续性, 说明利空消息对中国股票市场的影响大于同等程度利好消息对中国股票市场的影响, 且利空消息对中国股票市场影响的持续性相比利好消息对中国股票市场影响的持续性要低。本文模型有助于深刻揭示股票市场对消息的反应模式。同时, 本文模型充分利用了市场上可用的信息(高频数据信息)提取波动率, 为资产定价、投资组合构造以及风险管理的研究提供了参考。

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Threshold Realized Stochastic Volatility Model and its Empirical Test

WU Xin-yu1, 2，LI Xin-dan2，MA Chao-qun3

(1.School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China;2.School of Industrial Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China;3.Business School, Hunan University, Changsha 410082, China)

Volatility in financial markets has attracted a great deal of attention from academics, policy makers and practitioners during the past decades, primarily because it plays a crucial role in many financial applications, such as portfolio selection, option pricing and risk management. It has been well-documented in the finance literature that the financial market volatility is not a constant but in fact changes over time and financial time series exhibits volatility clustering. In addition, many empirical researches have indicated that the mean and volatility of asset returns respond asymmetrically to market news. Recently, with the development of information technology, the availability of high frequency data means that it has become possible to measure the latent volatility using the so-called realized volatility (RV) measure. Under some assumptions, the RV is a consistent estimator of the true volatility. In the real market, however, the RV measure computed from high frequency return data suffers from microstructure noise. In this paper, both the threshold effects and realized volatility measure are incorporated into the standard stochastic volatility (SV) model and the threshold realized SV (TRSV) model is proposed to model the volatility of asset returns. The model is able to account for time-varying volatility and volatility clustering and capture simultaneously the mean and volatility asymmetries in asset return data. Also, this model, which uses high-frequency data containing valuable intraday information to extract volatility information, can estimate RV biases and parameters simultaneously. The lack of a closed-form expression of the likelihood function makes the estimation of the SV models being a challenging topic in the literature. In this paper, the efficient importance sampling (EIS) technique is adopted to implement the maximum likelihood (ML) estimation method for our proposed TRSV model. The Monte Carlo simulation study shows that the EIS-ML estimation method can provide appropriate and accurate inference for the parameters of the proposed model. Finally, the TRSV model is applied to the intraday high-frequency data of Shanghai Stock Exchange composite index and Shenzhen Stock Exchange component index of China. Empirical results show that the TRSV model captures the volatility dynamics appropriately and provides better fit to the data compared to the realized SV (RSV) model. Moreover, strong evidence of high persistence of volatility and the mean and volatility asymmetries is detected in Chinese stock markets.

stochastic volatility; threshold effect; asymmetries; realized volatility; efficient importance sampling

1003-207(2017)03-0010-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.03.002

2015-11-26；

2016-06-14

国家自然科学基金资助项目(71501001, 71431008); 教育部人文社科研究青年基金资助项目(14YJC790133); 中国博士后科学基金资助项目(2015M580416); 安徽省自然科学基金资助项目(1408085QG139); 安徽省高等学校省级优秀青年人才基金重点资助项目(2013SQRW025ZD)

吴鑫育(1982-), 男(汉族), 湖南衡山人, 安徽财经大学金融学院副教授, 南京大学工程管理学院博士后, 研究方向: 金融工程与风险管理, E-mail: xywu@hotmail.com.

F830.9

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