钟琴

(四川大学锦江学院数学教学部,四川 彭山 620860)

非负矩阵谱半径的新估计

钟琴

(四川大学锦江学院数学教学部,四川 彭山 620860)

非负矩阵谱半径的估计是非负矩阵理论研究中的重要课题.如果谱半径的上下界能够表示为非负矩阵元素的易于计算的函数,那么这种估计价值更高.通过构造两个收敛的序列得到非负矩阵谱半径的新界值.数值算例表明其结果比有关结论更加精确.

非负矩阵;谱半径;上界;下界

1 引言与预备知识

非负矩阵是矩阵理论中一个重要的矩阵类,在图论、线性规划、计算机科学、自动控制等领域中有广泛的应用,尤其是对于Markov链理论、偏微分方程数值解的一般理论也有重要应用.对非负矩阵的谱半径进行估计是非负矩阵理论研究的核心问题之一.许多学者都致力于这方面的研究,并取得了一系列的研究成果[111].

若A=(aij)n×n的所有元素aij≥0,则称矩阵A为非负矩阵,记为A≥0;若aij＞0,则称矩阵A为正矩阵,记为A＞0,用ρ(A)表示n阶非负矩阵A的谱半径.

设n阶矩阵A=(aij)n×n,如果存在一个置换矩阵P使得PAPT=其中B和D分别是k,l阶方阵,k≥1和l≥1,则称A是可约矩阵,否则称A是不可约矩阵.

若A是非负不可约矩阵,则存在正向量u,使得Au=ρ(A)u,其中u称为A的右Perron特征向量.

非负矩阵谱半径的最有名且用的最多的界值是由Frobenius[1]提出的.设

结论 1.1[1](Frobenius界值) 设A=(aij)n×n≥0,令

则

对于列和也有相同的结论.

正矩阵是非负矩阵的子类,具有非负矩阵的所有性质.W.Lederman[2],A.Ostrowski[3]和A.Brauer[4]在(1)式的基础上给出了正矩阵谱半径的界值定理.

对于具有非零行和的非负矩阵,H.Minc[5]对(1)式进行了改进,得到了如下的结果:

结论 1.2[6]设矩阵A=(aij)n×n≥0且不可约,若存在正整数k使得

则

对于列和结论同样成立.

结论 1.3[7]设矩阵A=(aij)n×n≥0且A具有非零行和非零列和,则对任意的正整数m,k有

对于列和结论同样成立.

本文在文献[6-9]的基础上对非负矩阵谱半径的上下界进行改进,借助于一个特殊的矩阵,通过构造两个收敛的序列,将非负矩阵谱半径的上下界表示为矩阵元素的易于计算的函数,所得结果改进了现有的相关结论.

2 主要结论

引理 2.1[5]设λ是矩阵A的特征值,

分别是矩阵AT和A对应于λ的特征向量,则

引理 2.2[5]若q1,q2,···,qn是正实数,则对任意实数p1,p2,···,pn,有

引理 2.3[7]设A是n阶矩阵,ri(Ak),cj(Ak)分别表示矩阵Ak的第i行行和与第j列列和,则

下面给出本文关于非负矩阵谱半径的估计结果.

定理 2.1设矩阵A=(aij)n×n≥0且不可约,令

证明因为所以由引理3知设

是矩阵AT对应于ρ(A)的特征向量,即

则有

由引理1可知

于是

再由引理2得

故(5)式得证,同理可证(6)式成立.

定理 2.2设矩阵A=(aij)n×n≥0且不可约,令

若

则对任意的正整数k,有

都存在,且有

证明因为B=(I+A+A2)n−1,所以AB=BA,进一步有

令AB=(cij),由引理2.3及引理2.2可知,对任意的正整数k,有

即

因此

所以序列

单调递减且有下界ρ(A),从而极限存在.

根据定理2.1知:

两边同时取极限得

同理可证对列和的结论也成立.

注2.1在(5)式中令k=0,并规定A0=B0=I,则有

因为

同理有

又根据ρ(A2)=[ρ(A)]2,从而有

因此,定理2.1的界值是文献[1]中(1)式的改进,且精确度更高.

注2.2定理2.1中ρ(A)的上下界表达式里容易计算,因为从引理2.3可知Ak+2Bk和AkBk的行和可以由Ak+1Bk−1和Ak−1Bk−1的行和递推地算出,计算量不大.

注2.3若A是n(n≥2)阶非负可约矩阵,则存在n阶置换矩阵P,使得

其中块对角线上每块Aii(1≤i≤m)或为不可约矩阵,或为一阶零矩阵.显然

因此对非负可约矩阵,施行合适的置换变换后,同样可以对其谱半径进行估计.

3 数值算例

例3.1考虑非负矩阵

真值ρ(A)=5.74165738···.以下是参考文献[1-9]和本文定理2.1关于矩阵A谱半径估计的结果比较.

表1 谱半径的界值比较

由表 1可以看出,定理 2.1得到的结论在一定程度上比现有的相关结果更精确,特别是k=2时,几乎可以求得谱半径的近似值

参考文献

[1]Frobenius G.Uber Matrizen aus nichtnegativen Elementen,Sitzungsber[M].Berlin:Wiss,1912.

[2]Ledermannn W.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J].London Math.Soc.,1950,25:265-268.

[3]Ostrowski A.Bounds for the greatest latent root of a positive matrix[J].London Math.Soc.,1952,27:253-256.

[4]Brauer A.The theorems of Ledermann and Ostrowski on positive matrices[J].Duke Math.,1957,24:265-274.

[5]Minc H.Nonnegative Matrices[M].New York:Wiley,1988.

[6]景何仿,尤传华,司书红.非负矩阵最大特征值的新界值[J].兰州大学学报,2004,40(5):1-3.

[7]Liu S L.Bounds for the greatest characteristic root of a nonnegative matrix[J].Lin Alg App.,1996,(239):151-160.

[8]刘丽明,黄廷祝,刘小琴.非负矩阵最大特征值的新界值[J].电子科技大学学报,2007,36(2):343-345.

[9]殷剑宏.非负矩阵最大特征值的新界值[J].数值计算与计算机应用,2002,(4):292-295.

[10]钟琴,周鑫,牟谷芳.非负矩阵Perron根的下界序列[J].纯粹数学与应用数学,2016,32(4):331-336.

[11]钱茜,韩贵春.非负矩阵谱半径的界[J].高等学校计算数学学报,2010,32(2):165-172.

New estimation for the spectral radius of nonnegative matrices

Zhong Qin
(Department of Mathematics,Sichuan University Jinjiang College,Pengshan 620860,China)

Estimation the bounds for the spectral radius of nonnegative matrices is important part in the theory of nonnegative matrices.It is more practical value when the bounds are expressed easily calculated function in element of matrix.New bounds for the spectral radius of nonnegative matrices were obtained by constructing two convergent sequences.Numerical example is given to illustrate the effectiveness by comparing with the relevant conclusions.

nonnegative matrices,spectral radius,upper bounds,lower bounds

O151.21

A

1008-5513(2017)02-0134-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.004

2017-02-28.

四川省教育厅科研项目(13ZB0357);四川大学锦江学院青年教师科研基金(12130219)

钟琴(1982-),硕士,讲师,研究方向:矩阵理论及其应用的研究

2010 MSC:15A09