陈益智,刘中柱

(惠州学院数学与大数据学院, 广东 惠州 516007)

广义m-幂矩阵的等价条件

陈益智,刘中柱

(惠州学院数学与大数据学院, 广东 惠州 516007)

利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数,给出了广义m-幂矩阵的5个等价条件,推广了幂幺矩阵和m次幂等矩阵的相应结论.此外,把广义m-幂矩阵的这几个等价条件推广到了广义m-幂变换中.

广义m-幂矩阵;等价条件;广义m-幂变换

1 引言

设A是复数域上的一个n阶矩阵,若存在正整数m(m≥2),使Am=A(Am=I,I为n阶单位矩阵),则称A为m次幂等矩阵(幂幺矩阵).

2010年,文献[1]研究了幂幺矩阵和幂幺变换,并给出了它们的一些充要条件,包括:设A是n阶矩阵,则Am=I当且仅当

这里ε0,ε1,···,εm−1是m个m次单位根.

2011年,文献[2]研究了m(m≥2)次幂等矩阵和m(m≥2)次幂等变换，也给出了它们的一些等价条件,包括:设A是n阶矩阵,则Am=A(m≥2)当且仅当

这里ε1,···,εm−1是m−1个m−1次单位根.

2012年,文献[3]定义了广义m-幂矩阵和广义m-幂变换:复数域上的n阶矩阵A称为广义m−幂矩阵,若它满足(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O(m≥2),这里λ1,λ2,···,λm是m个两两互异的复数;复数域上n维向量空间V的一个线性变换σ称为是广义m-幂变换,若它满足(σ−λ1ι)(σ−λ2ι)···(σ−λmι)=θ时,这里λ1,λ2,···,λm是m(m≥2)个两两互异的复数.该文献还探究了广义m−幂矩阵和广义m−幂变换的一些等价刻画和性质,包括:设A是n阶矩阵,则(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O(m≥2)当且仅当

这里λ1,λ2,···,λm是m个两两互异的复数,从而推广了m次幂等矩阵(或变换)和幂幺矩阵(或变换)的相关结果.

2013年,文献[4]探讨了广义m-幂矩阵和广义m-幂变换的一些性质,从而推广了m次幂等矩阵及幂幺矩阵的相关结果.

本文将继续探讨广义m-幂矩阵和广义m-幂变换.利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数,本文将给出广义m-幂矩阵A的若干等价条件,从而推广幂幺矩阵和m次幂等矩阵的相应结果,包括文献[1-2,5-6]的一些主要结论.此外,本文还把广义m-幂矩阵的等价条件平行地推广到广义m-幂变换中.

对于本文未提及的概念和术语,可参看文献[7-8].

2 主要结果

引理2.1[8]设A,B都是n阶矩阵,若AB=O,则有r(A)+r(B)≤n.

引理2.2[8]设A,B都是n阶矩阵,则有r(A+B)≤r(A)+r(B).

引理 2.3[9]设A∈Cn×n,f1(x),f2(x),···,fm(x)∈C[x],且两两互素,

定理2.1设A是n阶矩阵,m≥2,λ1,λ2,···,λm是m个两两互异的复数,则下列条件等价:

1)(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O,即A是广义m-幂矩阵;

2)r(A−λ1I)+r[(A−λ2I)···(A−λmI)]=n;

3)r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,这里,

4)r(A−λ1I)+r(A−λ2I)+···+r(A−λmI)=(m−1)n;

5)A相似于对角矩阵diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm).

证明1)⇒2)

设(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O,下证条件2)成立.事实上，一方面,由引理1,

另一方面,由引理2,

记多项式

显然,h(λ1),h(λ2),···,h(λm)0,此时,矩阵h(A)必可逆.于是,由(2)式,

从而,综合(1)式,(3)式,条件2)成立.

2)⇒3)

令f1(x)=x−λ1,f2(x)=(x−λ2)···(x−λm).显然,(f1(x),f2(x))=1.由引理3,

因为r(A−λ1I)+r[(A−λ2I)···(A−λmI)]=n,所以

即(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O.

今考虑齐次线性方程组

及

并记其解空间分别为W1,W2,···,Wm及V.此时,结合刚才所证结果

不难验证,V=W1⊕W2⊕···⊕Wm,从而有

由于2)成立,所以

于是,

条件3)成立.

3)⇒4)

令fi(x)=x−λi(i=1,2,···,m).显然,(fi(x),fj(x))=1(ij).由引理3,

因为条件3)成立,即r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,所以,

即条件4)成立.

4)⇒5)

设r(A−λ1I)+r(A−λ2I)+···+r(A−λmI)=(m−1)n.考虑齐次线性方程组

并记其解空间分别为W1,W2,···,Wm.显然W1,W2,···,Wm是属于不同特征值的特征子空间,注意到属于不同特征值的特征向量线性无关,可得V=W1⊕W2⊕···⊕Wm,从而有

因而,V=Cn.分别选取W1,W2,···,Wm的一个基,按顺序放在一起可构成Cn的一个基,以这n个基向量为列作一个矩阵P,则有

从而有

此时,A相似于对角矩阵diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm),即条件5)成立.

5)⇒1)

设条件5)成立,即存在可逆矩阵P∈Cn×n,使得

从而,

此时,直接验证可知,(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O,从而条件1)成立.

现在,在等式(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O中,令

为m个m次单位根,则可立即得到下面的推论.从而定理1推广了文献[1]的相关结果.

推论 2.1设A是n阶矩阵,m≥2,ε0,ε1,···,εm−1是m个m次单位根,则下列条件等价:

1)Am=I,即A是幂幺矩阵;

2)r(A−ε0I)+r[(A−ε1I)···(A−εm−1I)]=n;

3)r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,这里,

4)r(A−ε0I)+r(A−ε1I)+···+r(A−εm−1I)=(m−1)n;

5)A相似于对角矩阵diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm−1,···,εm−1).

相应地,在等式(A−λ1I)(A−λ2I)···(A−λmI)=O中,令

为m−1个m−1次单位根,则也可得到下面的推论.从而定理1推广了文献[5-6]的一些相关结果.

推论2.2设A是n阶矩阵,m≥2,ε1,···,εm−1是m−1个m−1次单位根,则下列条件等价:

1)Am=A,即A是m次幂等矩阵;

2)r(A)+r[(A−ε1I)···(A−εm−1I)]=n;

3)r[g0(A)]+r[g1(A)]+···+r[gm−1(A)]=n,这里,

4)r(A)+r(fA−ε1I)+···+r(A−εm−1I)=(m−1)n;

5)A相似于对角矩阵diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm−1,···,εm−1).

3 推广

在这一节,类似于上一节的讨论,也可得到广义m−幂变换的若干等价条件.这些结果的证明过程我们在此不再赘述.

定理3.1设σ是复数域上n维向量空间V的一个线性变换,m≥2,λ1,λ2,···,λm是m个两两互异的复数,则下列条件等价:

1)(σ−λ1ι)(σ−λ2ι)···(σ−λmι)=θ,即σ是广义m-幂变换;

2)dim Im(σ−λ1ι)+dimIm[(σ−λ2ι)···(σ−λmι)]=n;

3)dimImg1(σ)+dimImg2(σ)+···+dimImgm(σ)=n,这里,

4)dim Im(σ−λ1ι)+dimIm(σ−λ2ι)+···+dimIm(σ−λmι)=(m−1)n;

5)σ在V的某组基下的矩阵为对角矩阵diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm).

现在,令σ为幂幺线性变换(即满足σm=ι,m≥2),则可立即得到下面的推论.从而,定理3.1推广了文献[6]的相应结果.

推论 3.1设σ是复数域上n维向量空间V的一个线性变换,m≥2,ε0,ε1,···,εm−1是m个m次单位根,则下列条件等价:

1)σm=ι,即σ是幂幺变换;

2)dimIm(σ−ε0ι)+dimIm[(σ−ε1ι)···(σ−εm−1ι)]=n;

3)dimImg0(σ)+dimImg1(σ)+···+dimImgm−1(σ)=n,这里

4)dimIm(σ−ε0ι)+dimIm(σ−ε1ι)+···+dimIm(σ−εm−1ι)=(m−1)n;

5)σ在V的某组基下的矩阵为对角矩阵diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm−1,···,εm−1).

相应地,令σ为m次幂等线性变换(即σm=σ,m≥2),则可得下面的推论.

推论 3.2设 σ是复数域上 n维向量空间 V的一个线性变换,m≥2,ε1,···,εm−1是m−1个m−1次单位根,则下列条件等价:

1)σm=σ,即σ是幂等变换;

2)dimIm(σ)+dimIm[(σ−ε1ι)···(σ−εm−1ι)]=n;

3)dimImg0(σ)+dimImg1(σ)+···+dimImgm−1(σ)=n,这里,

4)dimIm(σ)+dimIm(σ−ε1ι)+···+dimIm(σ−εm−1ι)=(m−1)n;

5)σ在V的某组基下的矩阵为对角矩阵diag(0,···,0,ε1,···,ε1,···,εm−1,···,εm−1).

参考文献

[1]唐建国,严青云.幂幺矩阵的充要条件[J].数学的实践与认识,2010,40(20):172-176.

[2]陈益智.m-次幂等矩阵的等价条件[J].数学的实践与认识,2011,41(23):190-193.

[3]Ye S H,Chen Y Z,Luo H.On generalized m-power matrices and transformations[J].International Journal of Mathematical Combinatorics,2012(2):71-75.

[4]Ye S H,Chen Y Z.Some Properties and Generalizations of Generalized m-power Matrices[J].Scientia Magna, 2013,9(1):59-64.

[5]龚和林,舒情.关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J].大学数学,2009,25(6):126-130.

[6]杨闻起.幂合变换与幂合矩阵[J].科学技术与工程,2009,9(3):662-664.

[7]张禾瑞,郝邴新.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,1999.

[8]北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

[9]林国钦,杨忠鹏,陈梅香.矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用[J].北华大学学报,2008,9(1):5-8.

Equivalent conditions of generalized m-power matrices

Chen Yizhi,Liu Zhongzhu
(School of Mathematics and Big Data,Huizhou University,Huizhou,Guangdong 516007,China)

In this paper,by using ranks of matrices and dimensions of solution spaces of homogeneous linear systems,five equivalent conditions of generalized m-power matrices are given.Consequently,the corresponding results of unit-ponent matrices and m(m ≥2)times idempotent matrices are generalized. Also,the main results obtained are extended to generalized m-power transformations.

generalized m-power matrices,equivalent conditions,generalized m-power transformations

O152.7

A

1008-5513(2017)02-0122-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.002

2017-02-01.

国家自然科学基金(11501237,11401246,11426112);广东省高校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015155);广东省自然科学基金(2014A030310087,2014A030310119,2016A030310099);惠州学院科研创新团队培育项目(hzuxl201523).

陈益智(1980-),副教授,研究方向:代数学.

2010 MSC:15A57