任莹蓉， 丁琰豪， 范佳琪， 章丽娜

(湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000)

BBM方程的精确行波解研究

任莹蓉， 丁琰豪， 范佳琪， 章丽娜

(湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000)

根据动力系统理论的特点，利用连接平衡点的闭轨线特点,并结合轨线与行波之间的对应关系，研究BBM方程的精确行波解，在不同参数条件下求得该方程的周期波解与孤立波解的精确显式表达式.

平面动力系统； 周期波解； 孤立波解

MSC 2010:34C23; 34C60

0 引 言

对于自然界中的诸多非线性现象，如流体力学、光纤通信等，可通过建立非线性偏微分方程加以描述说明.本文结合平面动力系统理论[1-4]，对BBM方程ut+aux+buux-cuxxt=0进行精确解研究，并在一定的参数条件下，求得其精确行波解.对BBM方程ut+aux+buux-cuxxt=0采取如下行波变换：

u(x,t)=u(x+wt)=u(ξ)，ξ=x+wt(w>0).

将u=u(ξ)代入BBM方程得:

wu′+au′+buu′-cwu‴=0.

(1)

对(1)式关于ξ两边积分，并取积分常数g=0得:

(2)

记k=a+w，则(2)式可等价于如下系统:

(3)

系统(3)有首次积分:

(4)

1 BBM方程的行波解的精确参数表达式

1.1 当c>0,k>0,b>0(图1(a))时

(i) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h0=0，可得:

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的孤立波解的参数表达式：

(5)

(ii) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h(h∈(h1,h0))，可得:

设参数r1,r2,r3由

所定义，再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的周期波解的参数表达式：

(6)

1.2 当c>0,k>0,b<0(图1(b))时

(i) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h0=0，可得:

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的孤立波解的参数表达式同(5)式.

(ii) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h(h∈(h1,h0))，可得:

设参数r1,r2,r3由

所定义，再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的周期波解的参数表达式：

(7)

1.3 当c>0,k<0,b>0(图1(c))时

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的孤立波解的参数表达式：

(8)

(ii) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h(h∈(h0,h1))，可得:

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的周期波解的参数表达式同(6)式.

1.4 当c>0,k<0,b<0(图1(d))时

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的孤立波解的参数表达式：

(9)

(ii) 由(4)式定义的水平曲线H(u,y)=h(h∈(h0,h1))，可得:

再由(3)式的第一个方程，得到BBM方程的周期波解的参数表达式同(7)式.

综上所述，在不同的参数条件下，获得了BBM方程的8个精确行波解.

[1]李继彬，WADATIM.可积非线性发展方程的精确行波解[J]．应用数学和力学，2008，29(4):393-397．

[2]李继彬.两类Boussinesq方程的行波解分支[J]．中国科学(A辑:数学),2008,38(11):1 221-1 234．

[3]徐园芬．新(2+1)-维破碎孤子方程的精确行波解[J]．浙江万里学院学报,2011,24(1):81-83.

[4]LIH，WANGKM，LIJB．ExacttravelingwavesolutionsfortheBenjamin-Bona-MahonyequationbyimprovedFansub-equationmethod[J]．AppliedMathematicalModelling,2013,37(14～15):7 644-7 652.

MSC 2010:34C23; 34C60

[责任编辑 高俊娥]

Exact Traveling Wave Solutions for the BBM Equation

REN Yingrong, DING Yanhao, FAN Jiaqi, ZHANG Lina

(School of Science, Huzhou University, Huzhou 313000, China)

In this paper, according to the theory of dynamical systems, the exact traveling wave solutions of the BBM equation is investigated by using characteristics of the closed trajectory connecting equilibrium points and the relation between the obits and traveling wave. Under different parametric conditions, exact explicit representations of periodic wave solutions and solitary wave solutions are obtained.

planar dynamical systems; periodic wave solutions; solitary wave solutions

2016-12-15

浙江省自然科学青年基金项目(LQ14A010009)；湖州师范学院“大学生创新创业训练计划”项目(2016-111).

章丽娜，讲师，研究方向：微分方程与动力系统.E-mail:zsdzln@126.com

O175

A

1009-1734(2017)02-0008-04