王起尧

【摘 要】数学解题贯穿于整个教学过程，公式的推导、定理的证明以及问题的解答，都与数学解题密不可分。面对学生在数学解题中出现的各类错误，教师及时分析错误原因，采取有效的教学策略，提高学生解题能力。

【关键词】数学解题；错题分析；解题能力

《初中数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索是学生学习数学的重要方式。数学解题贯穿于整个教学过程，公式的推导、定理的证明以及问题的解答，都与数学解题密不可分。然而，由于教学内容的多样性，学生学习能力存在着差异性，在数学解题中，学生经常会出现各类错误。笔者结合课堂教学实例，通过学生在《一元二次方程》学习过程中，常出现的解题错误展开分析，及时采取有效的教学策略：

一、学生基本概念理解不到位

数学概念是数学的一种思维形式，是运算、推理、证明的重要依据。在教学中，教师通过一系列设问、引导，概括出一元二次方程概念的本质。然而，部分学生在实际解题中仍会出现不同程度的错误。

案例1：判断下列方程哪些是一元二次方程：

①x2=5； ②2x2-y+5=0；

③ax2+bx+c=0； ④

典型错误：学生在解题中普遍认识到第②与第③选项存在明显错误，不会选②与③。部分学生错选第④选项。

分析：选④，究其主要原因，是学生没有完全弄清一元二次方程的前提条件必须是整式方程，而第④选项是分式方程，它不是一元二次方程。

对策：在教学一元二次方程概念时，务必对学生强调一元二次方程必须同时具备三个条件：①一元二次方程是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。以上三个条件缺一不可。

案例2：不解方程，判断方程4x2-3x+1=2根的情况。

典型错误：∵a=4，b=-3，c=1，

∴b2-4ac=（-3）2-4×4×1=9-16=-7<0，

∴原方程没有实数根。

分析：部分学生没有弄清一元二次方程4x2-3x+1=2根的判别式b2-4ac 中的a、b、c分别表示的含义，就把c用1代入计算，因而导致解题错误。

对策：在教学一元二次方程根的判别式时，先从概念层次复习一元二次方程的一般形式，然后列举实例，要求学生化成一元二次方程的一般形式，并分别指出二次项系数、一次项系数、常数项，最后给学生一一分析实例中根的判别式b2-4ac 中的a、b、c的含义。加深了学生印象，也避免学生今后犯类似错误。

正确掌握数学概念及其理解数学概念的本质是学生纠错的必要前提。在教学中，部分学生对数学概念理解存在失误，通常表现为理解不透或死记硬背，面对较难题目不懂得灵活变通。因此教师从学生实际出发，在讲解数学概念时，积极创设教学情境，引领学生找“关键词”，从具体到抽象，层层递进，加深数学概念的内涵和外延的理解，揭示数学概念的本质，不断强化数学概念之间的内在联系，这样一来，学生就能正确、灵活地运用数学概念了。

二、学生解题思路考虑不全面

苏联数学教育家斯托利亚尔曾提出：“数学教学也就是数学语言的教学。”在教学中，教师有目的地引导学生细致阅读数学题目，学会提取题目中的有效信息，剖析题目中各种隐含的条件，在正确理解题意的基础上，将所学的公式、定理与教学情境有机重组，从而形成正确的解题思路。

案例3：已知关于x的方程（m-1）x2+x+3=0有实数根，求m的取值范围。

典型错误：∵方程有实数根；

∴b2-4ac=-4（m-1）×3≥0，解得m≤；

∵m-1≠0，解得m≠1；

∴m的取值范围是m≤且m≠1。

分析：从学生答题情况看，学生解题思路较全面，懂得用根的判别式去求m的取值范围，同时也考虑到x 的二次项系数m-1≠0。但学生审题时已出现明显偏差：第一，題中没有明确表示该方程是一元二次方程，因此它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程。而学生解题思路是从一元二次方程的角度来求解；该方程如果不是一元二次方程，即m-1=0时就变成一元一次方程，也是可行的。第二，学生忽略了题目中的一个隐含条件：二次根式的被开方数2m必须大于或等于0，而学生没有考虑到2m≥0，因此解题时对m的限制不全面。

对策：教学中，在学生深入理解一元二次方程根的判别式概念的基础上，教师应注重解题思路的引导，针对判别式、根与系数的关系，以精选的例题、习题为载体，引导学生不同角度思考问题，感受新知是旧知的自然延伸，从而建立合理的逻辑过程，提升学生对一元二次方程的解题能力。

实践证明，掌握正确的数学解题思路，学生的学习效果事半功倍。教师重视数学教学中分析问题和解决问题时思维过程的层层揭示，学生通过自主探究，逐步学会把数学概念、定理内化成自身独特的知识建构与感悟，形成一定的解题能力，做到举一反三。

三、学生知识迁移能力不够

“生活中处处有数学”。一元二次方程的应用是我们解决实际问题的一种有效途径，教学中，教师根据学生学情，积极创设数学情境，将题目中隐含着的数量关系抽象成一元二次方程，不断培养学生的数学知识迁移能力。

案例4：在某次同学聚会上，每两人握一次手，所有人共握手15次，问：有多少人参加这次聚会？

典型错误：设有x个人参加聚会，列出方程：x（x-1）=15。

分析：“握手问题”是应用题中常见的一种题型。学生已经掌握一元二次方程概念、解法等基础知识，但如何将这些知识充分应用到实际问题中，有的学生无从下手，不能根据题意确定等量关系后列出正确的一元二次方程。

对策：“握手问题”贴近学生生活，教师分析其解题思路时，先请两位同学上台互相握手演示，大家很容易就领悟到甲与乙握手是相互的，甲与乙握手的同时，乙与甲也握手了，两人相互握手算一次。接着教师请3位、4位、5位同学上台演示，这样学生就对重复握手有了更为直观的认识。然后教师通过问题教学法不断打开学生的解题思路：①先假设这次聚会有x个人，那么甲与其他人握了几次手？学生很快得出结论：（x-1）次；②每个人都握了（x-1）次，则x个人总共握手多少次？学生思考后得出结论： x（x-1）次；③甲与乙握手的同时，乙与甲握手了吗？通过上述三个问题的层层引入，学生完全理解题意。最后找出已知量、未知量，确定等量关系，列出方程：x（x-1）=15。在学生充分理解“握手问题”实质的基础上，教师将“握手问题”加以变式，例如：足球循环赛、互送礼物、多边形对角线等问题的设置，培养了学生的逻辑推理能力与数学知识迁移能力。

在数学教学中，教师有意识地培养学生学习数学的知识迁移能力，有针对性地选择趣味性与实用性较强的例题与习题，引导学生自主探究，亲身体验运用一元二次方程模型解决实际问题的乐趣。与此同时，教师应该加强学法指导：抽象出实际问题中的数量关系——列一元二次方程——解方程——验证，及时捕捉学生解题中常常出现的错题，引领学生不断地在纠错、改错过程中多角度类比、演变、重组，建构正确的数学知识网络，提升数学思维的灵活性。

总而言之，学生数学学习中解题错误是一种正常现象，也是一种珍贵的教学资源。教师在教学中重视学生已有的知识经验，从学生实际出发，引导学生尝试多角度、有效地解决错题，不断提高学生的数学解题能力。

参考文献：

[1]《初中数学课程标准》（2011年版）.

[2]李保国.浅谈错题集的建立和应用技巧[J].数学教学，2013.

[3]扬州大学.初中数学教与学[J]，2016（第3期）.