汪水勇

[摘 要] 三视图是新课程中增加的内容之一，也是近年来数学高考命题的新热点. 本文在分析高中教材对三视图的定位的基础上，阐述了基于高考命题下三视图教学方法的原则，并结合自己的教学实践提出了一些高中三视图教学方法的策略.

[关键词] 高考命题；三视图；空间想象能力

《高中数学课程标准》中明确指出：要培养和發展学生的空间想象能力. 为了有效增强学生的空间想象能力、几何直观能力以及应用图形语言交流的能力，人教版数学教材中增设了三视图的相关内容. 纵观近年来的高考题目，关于三视图相关知识的考查频频出现，因此，研究基于高考命题下的三视图教学具有重要的现实意义.

[?] 高中教材对三视图的定位

1. 教材内容较为简单

教材中对于三视图的介绍共分为两部分，其中一部分是圆柱、圆锥、圆台、球体的三视图，简单介绍了正视图、俯视图、侧视图的概念，通过圆柱和圆锥两个旋转体分别列举出了圆柱和圆锥的三视图. 另一部分是简单组合体的三视图，通过画出实物三视图的方式，让学生想象出三视图的特征. 不难发现，教材中对于该部分知识的学习十分简单，列举的实例是长方体、圆柱、圆锥及圆台等极其简单的多面体或旋转体图形.

2. 三视图知识灵活多样

空间几何体形式的复杂多变导致三视图的形式复杂多变，对于每一种形式的空间几何体，由于观察角度的不同可能有多种不同形式的三视图，加之两种以上几何体组成的组合体，无形中又增加了由三视图还原空间几何体的难度. 例如，三视图既可以是圆柱和球体的组合，也可以是圆锥、球体去掉一部分后剩下的部分. 同时，虽然三视图能够具体地反映几何图形某一部位的详细尺寸和角度关系，但根据三视图还原空间几何体时，需要兼顾正视图、俯视图以及侧视图，需要学生具备较强的整体意识和空间想象能力才能准确地描述出原来空间几何体的真实结构，而整体意识和空间想象力需要学生在学习生活中勤于思考、细于观察才能够培养出来.

3. 图形虚实结合，真假难辨

对于一个空间几何体的三视图而言，首先需要判断该几何体的总体形状，判断是柱、锥、台、球体中的哪一类还是两种或两种以上的组合体. 其次，根据几何体各面的长、宽、高、半径等尺寸进行定量. 但在这一过程中常常遇到虚实结合、真假难辨的现象. 以2016年全国高考文科数学试卷（新课标）第7题为例（见图1），题目中只是说出了某几何体的三视图是三个半径相等的圆，但并没有给出哪个是正视图、俯视图、侧视图，并且题目中的图形极为相似，需要学生进行判断. 这种虚实结合、真假难辨的图形需要学生具有较强的空间想象能力和生活经验.

[?] 基于高考命题下三视图教学方法的原则

1. 多感官参与原则

空间想象能力是在缺乏空间立体图形的前提条件下，依靠某些空间视角思考物体位置、现状的能力，这种能力不是与生俱来的，需要在多种感官参与的基础上反复强化而得到. 因此，教师在讲解三视图知识时，需要充分调动学生的多种感官参与，通过观察、触摸各种空间几何体的形状结构，把三视图和空间几何体在视觉和触觉上形成的记忆结合起来，形成知识结构存储于学生头脑中. 例如，2011年全国高考理科数学试卷（新课标）第6题（见图2），在已知三视图中的俯视图和正视图的情况下，要求学生根据自己的空间想象能力猜想出该几何体的侧视图. 在解答这类题目时，必须依靠头脑中已经形成的记忆. 单纯地从正视图分析，该空间几何体可能是三棱锥、四棱锥等，但从俯视图分析，看到的是三角形的底面和半圆，我们调动头脑中半圆锥以及三棱锥的记忆轻松得知该几何体可能是三棱锥和半个圆锥的组合体. 其实，对于解决三视图问题，需要教师充分调动学生的视觉以及触觉，让学生在自己的头脑中形成常见立体几何的三视图.

2. 经验与理论相结合原则

对于逻辑性不是很完整的三视图而言，单纯地依靠理论解答高考试题的方法并不是十分有效的. 在纷繁复杂的三视图面前，需要将既成的事实总结成规律，将曾经见过事物留下的直观印象作为依据迅速进行解答. 例如，在三视图中，几何体的宽可以由侧视图和俯视图综合得知，根据将学习中的经验和事实总结成规律加以应用.

3. 求真原则

在解决三视图问题时，常常遇到某些线条、区域的重叠，对于这一类型的三视图时，应当按照求真的原则避开一些误区，去发现由于某些线条、区域的重叠而被忽略的图形，特别是对于几种几何体的组合体而言，应发现其真实的一面. 以2013年全国高考理科数学试卷（新课标Ⅰ）第8题为例（见图3），从主视图分析，该几何体是简单几何体的组合体，只有认识到这一点后，才能为下一步的计算打下坚实的基础.

[?] 高中三视图教学方法的策略

1. 熟悉常见空间几何体的三视图

教师应组织学生多角度地观察、交流，让学生通过体验的方式制作出圆柱、圆锥等常见的简单的几何体模型. 在具体制作过程中仔细观察，画出各类几何体的三视图，熟悉各种空间几何体的结构特征，达到根据相应的三视图画出真实的空间几何体，也能够根据不同的空间几何体能够画出相应的三视图的效果. 同时，强调经验和理论的结合，将在实践中反复观察和触摸、发现和纠正错误过程中积累下的经验进行提炼，对于常见几何体的直观图、三视图以及简单组合体的三视图、直观图在头脑中形成深刻的记忆，面对空间几何体或者空间几何体的三视图时能够在第一时间内有所反应.

2. 掌握三视图中的基本规律

对于应用三视图推理空间单个几何体的形状时，要按照“两三角则锥体、两矩形则柱体、两圆形则球体、两梯形则台体”的规律进行判断，也就是对于一个简单的空间几何体而言，有两个视图的平面图形是三角形，就可以判断这个几何体是锥体. 同理，则可以判断柱体、球体和台体. 对于其他几何体的组合体而言，应将其分解后进行判断. 例如，2014年全国高考文科数学试卷（新课标）第8题（见图4），根据两矩形则柱体的规律，迅速判断出该三视图的空间几何图形为柱体.

同时，在已知三视图所对应几何体的形状后，按照“长对正、宽相等、高平齐”的原则进一步推断原来几何体长、宽、高，即几何体的宽可以由侧视图和俯视图综合得知，几何体的长可以由正视图和俯视图综合得知，几何体的高可以由正视图和侧视图综合得知. 如图5所示，形象地说明了长方体对应三视图的长、宽、高.

3. 强调三视图问题解决中常见的误区

针对一些高频出现的三视图错误，教师需要勤于思考，勇于研讨，及时引导学生在常见的误区中加深印象. 其中，三棱锥侧高和物体的高混淆的现象是学生常见的一种误区，三棱锥的正视图、侧视图中三角形的高并不是原图形的高，在计算表面积时要特别注意. 只有当俯视图中外围三角形对应原三棱锥的底面时才能说明三棱锥的正视图、侧视图中三角形的高是原图形的高，这是因为只有一个平面图形垂直于视线时，它对应的视图才和它本身全等. 在锥体侧面形成的视图中，三角形的高并不是侧面三角形的高，而是原锥体的高.

综上所述，三视图是数学高考命题的新热点，高中数学教师在讲解三视图知识时，应坚持多感官参与、理论与经验相结合以及求真的原则，让学生熟练记忆常见几何体的三视图，灵活应用三视图中总结的规律，并警示学生三视图中常见的误区. 只有这样，才能提高学生的空间想象能力，使学生在高考中取得优异成绩.