江苏省涟水中等专业学校(223400) 陈 永 ●

对课本中“思考与探索”的再思考、再探索

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一、问题

将图1中面积为8×8=64的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新“拼接”成边长为5和13的“长方形”(如图2)它的面积为13×5=65．我们知道:图形面积是可以分割的，经过移动也是不变的．因此，上述正方形的面积，应该等于把这个正方形分割后拼成的“长方形”的面积，这就出现了“64=65”的结论!这个结论正确吗?当然不可能．你能用学过的知识解决这个问题吗?

背景:本题源自义务教育课程标准教科书(江苏科技出版社)八年级下册第十一章图形与证明(一)所给出的“思考与探索”题．直觉和实际的强烈反差，激发学生强烈的探究欲和学习兴趣，通过观察、实验、猜想、论证，引领学生体验逻辑推理证明的必要性．

二、解法探索

分析 在上述问题中，把一个正方形剪成几块后，再拼成一个长方形时，面积增加了1，这是为什么呢?原因是这样的:在图2中4块图形没有填满整个长方形，中间还留有一条狭缝，这条狭缝的面积正好是1，它与整个长方形的面积比的比值很小，拼时不易察觉(在图3中，我们故意把空隙部分画大了)．因此我们才能错误地认为面积增加了1．

怎样知道图3中的长方形中间留着空隙呢?其实只要证明A、G、C三点不在同一直线上即可．

方法一:利用勾股定理的知识解决

方法二:利用相似三角形知识解决

方法三:利用三角函数的知识解决

方法四:利用坐……