河南省商丘市谢集一中(476032) 魏祥勤 ●

数塔中的方程问题

河南省商丘市谢集一中(476032) 魏祥勤 ●

下面结合一道“数塔”问题，构造一元二次方程探究第几行的数字是一个已知数，对此问题进行分析、探究并进行一些拓展，供参考．

例1 把数字按照如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、 25、…，则在中间这列数中，第___行的数是761，写出推理过程．

解 观察数字组成的塔形排列，易于发现仅仅在奇数行，中间是一个数字，位于矩形围出的范围内，数字1、5、13、25、…都是奇数，如果每个数字都减去1，得出数字是:0，4，12，24，…，分别除以2得出数字0，2，6，12，…，则变为:0，1×2，2×3，3×4，…，因此下一个数字应当1+2 ×4×5=41，验证如下:左起29到36，右起37到45，猜想成立，因此奇数行第n行中间数字是2n(n－1)+1，令2n (n－1)+1=761，即是n2－n－380=0，解得:n=20或者是n=－19(应舍去)，只取n=20，即是在中间这列数中，第20行的数字是761．

例2 观察下列数塔，写出第n行中间的数字规律．确定第几行中间的数字是1261?

解 观察数字1、3、7、13、21、31、43、…，上面数字都减去1，得出数字0，2，6，12，20，30，42，…分别是数字0× 1、1×2、2×3、3×4、4×5、5×6、6×7，…，因此第n行中间数字是1+n(n－1)．

令1+n(n－1)= 1261，即是n2－n－1260 =0，解得:n=36或者是n=－35(应舍去)，只取n=36，即是在中间这列数中，第36行的数字是1261．

例3 观察下列数塔，写出第n行中间的数字规律．确定第几行中间的数字是211?

解 观察数字1、4、11、22、37、…，上面数字都减去1，得出数字0、3、10、21、36、…，分别可以写成0，1×3，2×5，3×7，4× 9，…，可以发现第n行中间的数字规律是1+(n－1)×〔2(n－1)+1〕．令1+(n－1)×〔2(n－1)+1〕=211即是2(n－1)2+(n－1)－210=0，解得n=11或者是n=－9．5(应舍去)，只取n=11，即是在中间这列数中，第11行的数字是211．

例4 观察下列数塔，写出第n行中间的数字规律．确定第几行中间的数字是1221．

解 观察数字1、5、15、31、53、…，上面……