武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

一类偏微分方程边值问题的有限差分格式

武文佳

(上海电机学院 数理教学部, 上海 201306)

对一类二维常系数椭圆型偏微分方程，建立了一种四阶紧有限差分格式。证明了有限差分解的存在性和唯一性，用离散能量分析的方法给出了数值解的L2-范数和H1-范数误差估计。

常系数椭圆边值问题； 紧有限差分格式； 误差估计

偏微分方程在自然科学、工程技术、力学、生物学以及化学等领域都有着广泛的应用。科学和工程中的许多数学模型都可以用偏微分方程来描述[1-3]，对偏微分方程的求解在科学研究过程中尤为重要。绝大多数偏微分方程的定解问题都无法给出精确的解析解，因此，微分方程的数值求解引起了学者广泛的关注。

近年来，有限元方法、有限差分及谱方法等已经成为微分方程数值求解的主要方法[4-9]。有限差分方法是用于求解微分方程定解问题最常用的数值逼近方法。本文对一类常系数二维椭圆型偏微分方程，建立了一种四阶紧有限差分方法，并给出了相应的理论分析。

1 四阶有限差分格式的建立

本文主要研究如下二维常系数椭圆边值问题：

(1)

式中，Ω⊂R2为矩形区域的组合；函数f(x,y,u)和φ(x,y)在定义域内充分光滑，函数f(x,y,u)关于u为非线性的；a、b、c、d为不依赖于(x,y)的常数，且a>0,b>0。

(2)

引入如下中心差分算子:

(3)

用上述算子替换式(1)中的微分算子，得

(4)

式中，τi,j为截断误差，

(5)

(6)

式中，系数

(7)

定义有限差分算子

(8)

设σ=hx/hy为步长比，计算可得

(9)

式中，

(10)

且

(11)