崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部，上海 201306)

B型非交错连接分拆的两个计数结果

崔汉哲

(上海电机学院 数理教学部，上海 201306)

连接分拆与非交错连接分拆是组合数学中的一类重要研究对象。对于[±n]的所有B型非交错连接分拆组成的集合NCL(B)(n)，分别计算其中包含或不包含零分块的元素个数。找到其满足的递推关系，并得出生成函数的表达式。

B型非交错连接分拆； 零分块； 递推式； 生成函数

组合数学中，连接分拆(linked partitions)与非交错连接分拆(noncrossing linked partitions)作为一类重要的内容被研究。它们最早由Dykema[1]在经典非交换概率论的T—变换研究时引入，之后被广泛应用于非交换概率论的其他方面以及算子代数的研究中[2-7]。同时，不同学者从多角度研究了连接分拆与非交错连接分拆作为组合对象的丰富性质，如代数结构[8]、计数性质、与其他组合对象的联系[10-13]等。

另一方面，文献[14]中从与组合数学有密切联系的Coxeter群的分类角度出发，定义了A、B和D型组合对象。在此基础上，文献[15]中定义了B型非交错连接分拆，研究了它们的基本性质，并与文献[16]共同得到了一些基本的计数结果。具体而言，文献[15]中计算了集合[±n]={1,2,…,n,-1,-2,…，-n}的所有B型非交错连接分拆的个数。本文进一步计算集合[±n]的B型非交错连接分拆中包含或不包含零分块的元素个数。

1 定义与引理

在集合{1,2,…,n,-1,-2,…,-n}上定义全序关系1<2<…

对于a∈Z，定义绝对值映射abs∶Z→N为

对于Z的子集V，定义

若集合π以Z的若干子集为元素，则类似定义

文献[8]中的定义2、3给出了连接分拆与非交错连接分拆的定义，此处不赘。……