李 伟

(集美大学理学院，福建厦门361021)

DH[a，b]空间上的连续线性泛函的刻划

李 伟

(集美大学理学院，福建厦门361021)

在Henstock积分的基础上，把在[a，b]上所有Henstock可积函数组成的空间称为Denjoy空间(简记为DH[a，b]空间)，建立Denjoy积分有关的基本概念，给出DH[a，b]空间上的连续线性泛函的一种刻划，并在非绝对型Henstock积分与Riemann－Stieltjes积分之关系定理的基础上，对该连续线性泛函刻划给出一个简捷的证明.

Henstock积分；Denjoy积分；DH空间；广义绝对连续

1957－1958年，J.kurzweil和R.Henstock分别独立建立了一种完全Riemann型的积分[1]，称为kurzweil－Henstock积分[2](简称KH－积分，也简称H－积分).H－积分的本质是“非绝对型”的，因此，有时也称之为非绝对型积分[3].它既推广了Lebesgue积分[4－5]，又包括了Newton积分[6]和反常Riemann积分.把在[a，b]上所有Henstock可积函数组成的空间称为Denjoy空间[7]，简记为DH[a，b]空间.本文首先建立Denjoy积分[8]有关的基本概念，给出DH[a，b]空间上的连续线性泛函的一种刻划，并在文献[1]定理2的基础上，对该连续线性泛函刻划给出一个简捷的证明.

1 预备知识

定义1[8]函数F叫做在集X上严格意义下广义绝对连续，简记AC∗(X)是指，对任意ε>0，存在η>0，对任何不相重叠区间列{[ai，bi]}，ai，bi∈X，且<η时有:其中ω是F在[ai，bi]上的震动量，即ω(F；[ai，bi])＝sup{F(v)－F(u)，u，v∈[ai，bi]}.

定义2[8]函数F叫做在[a，b]上严格意义下推广的广义绝对连续，简记ACG∗(X)是指，[a，b]是闭集列Xi的并，使得F在每个Xi上是AC∗(Xi).

定义3[8]函数f(x)叫做Denjoy意义下[a，b]上可积，是指:存在函数F(x)，它在[a，b]上连续，且是ACG∗(X)，使得它的导数F′(x)＝f(x)在[a，b]上a.e.成立.

可以证明，若f(x)在[a，b]上是Denjoy可积的，则f(x)在[a，b]上也是Henstock可积的，反之亦真.因此，Denjoy积分与Henstock积分等价[9].

定义4[10]设DH为在[a，b]上所有Denjoy可积函数f(x)全体，其范数规定如下:

并视几乎处处相等的函数f(x)和g(x)为相等的，那么DH是线性赋范空间，……