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由数系的发展浅谈其与数学各分支的联系

2017-04-12皮庆华

课程教育研究·新教师教学 2016年17期
关键词:赋值素数实数

皮庆华

摘要:在高等院校数学专业的教学中,数学史具有很重要的意义。通过学习数学史,学生可以了解数学发展的历史,掌握数学的内容、方法、意义,明确数学各个学科之间的联系,进而更好的进行相关专业课程的学习。本文仅就笔者在数学史教学中的若干经验,以数系的发展为出发点,浅谈其与数学其他课程的若干联系。

关键字:数学史;有理数;无理数;数系的完备化

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一、有理数和无理数

自然数及相应的加法运算,在公元前三千多年的古巴比伦文明和古埃及文明中就已经出现。但直到公元前600年到公元前300年的古希腊时期,数学才正式作为一个学科登上历史舞台。

古希腊人研究自然数的比值,即可公度比,产生了有理数的概念。而不可公度比,即所谓无理数,是由毕达哥拉斯学派的希帕索斯(Hippasus),在公元前5世纪发现并证明的。这个证明可以很容易的借助于勾股定理给出:

由上述证明 是不可公度比的过程,我们可以看到数学证明的严密性。

二、无理数的不同认知方式

当进行充分大的步骤的时候,误差就可以充分的小(极限中的 语言)。

另外一种是借助于几何进行等价认知。在数轴上取长度为1的区间,固定一个顶点,将另外一个顶点旋转90度。连接旋转前后的两个点,构成一个等腰直角三角形。之后将斜边旋转回数轴。由此我们可以得到 。

以上两种方法,反应了当代数学研究的两种思想。一种思想是,通过分析的方法,借助于已有的理论,对未知的问题进行某种程度的估算;另外一种思想是,将问题转化至某种良序的代数或几何对象,借助该对象的性质来认知原始问题。例如,为了描述素数在自然数中的分布情况,由Gauss做了猜想,然后由1896年数学家哈达玛(Hadamard)和普森(de la Vallée-Poussin)分别独立证明的素数定理,即是将素数在自然数中的分布情况,描述为如上形式的渐近公式。

另外一个例子是费马大定理的证明。德国数学家费马(Fermat)在1673年提出如下的猜想当整数n >2时,关于x, y, z的方程 没有正整数解。这个猜想最终由怀尔斯(Wiles)于1996年证明。怀尔斯证明该猜想的思路是,将原来的算数问题,通过某种情况下的谷山─志村─韦伊定理,转化为椭圆模函数的某类等价命题,才给出了证明。

三、数系和群论

对于有理数域 的进一步扩展,联系到代数多项式的解。将代数多项式的解添加入有理数中,按照域的定义,构成新的域,是为有理数域的代数扩张。

由此,如上所述,从数系的发展到有理数域的扩张,其牵扯到了近代数学的一门高度抽象的学科——抽象代数。古典数学的一些问题,如尺规作图法能否三等分任意角、尺规作图法能否得到任意正多边形等问题,都是由抽象代数的理论来得到其结果的。

四、数系的完备化

我们从另一个角度来看有理数域——考虑有理数的完备化。我们知道,有理数与无理数一起,構成了实数。实数在整个数轴上是连续的,我们可以在实数上引入绝对值的概念。

在该度量下, 是泛函分析中所定义的赋范线性空间。其对应该度量(或者范数)的完备化空间(Banach空间),恰是整个实数域 。由此,可以将实数系 描述为有理数域 在赋值 下的完备化空间。

我们记 为有理数域 在如上p-进位赋值下的完备化。可以证明,对不同的素数 , 是有理数域上的不等价的赋值;加上对应的绝对值 ,就构成了有理数域所有的不等价的赋值。

如同实数域 ,我们同样可以对完备化后的 上定义拓扑、函数,建立Fourier变换等分析工具。某些有理数上的算数问题,即可以通过等价变化,转化到完备化后的 及 上的问题,然后使用建立的分析工具进而求解。

结束语:从自然数出发,到有理数、无理数、实数。数系的发展与数学的各个分支,如分析、代数、拓扑、泛函等,均有深刻的联系。希望借助于此问题的阐述,能够对高校数学史的教学有所启发。

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