【摘 要】本文应用起效素数的有效排除力总和与自然数扩延范围的素数的量两者关系之原理，对罗卡尔关于“两个素数的平方之间至少有4个素数”的命题和杰波夫关于“在n2和（n+1）2之间有一定素数”猜想做出证明。此外，笔者发现并证明“在‘（n-1）×n至n×n之间和‘n×n至n×（n+1）之间存在一定素数”的问题。

【关键词】起效素数的有效排除力总和；罗卡尔命题；杰波夫猜想；证明

1 关于罗卡尔命题的证明

笔者认为，法国数学家罗卡尔关于“两个素数的平方之间至少有4个素数”的命题，其本质就是自然数扩延范围的素数的量与起效素数的有效排除力总和之间关系的问题。笔者研究结果表明，罗卡尔关于“两个素数的平方之间至少有4个素数”的命题，从“32至52”的扩围起成立，其证明定理为：

两个素数的平方之间的素数的量=“两个素数的平方之间的自然数的量”减去“被起效素数有效排除的量”>4（个）

1.1 起效素数与起效素数的有效排除力

定义1 素数的有效排除线

是指一个素数作为除数，将被其整除的自然数有效排除出素数之外的起点线，亦是一个素数起到有效排除作用的起始自然数。一个素数起到有效排除作用的起始自然数即是该素数的平方数，如素数2的有效排除线从4起，素数3的有效排除线从9起，其余以此类推。

定义2 素数有效排除力

是指素数作为除数，将可被其整除的自然数排除出素数之外的实际能力，是素数有效排除的自然数的量占自然数总量的比率的反映。素数的有效排除力，可分单个素数的有效排除力和整体素数的有效排除。整体素数的有效排除力，即是单个素数有效排除力相加总和。

定义3 自然数的扩延范围

是指依照自然数的循序逐增规律，以规律有序的数学式子表达起、至两个自然数，此起、至两个自然数及其间隙全体自然数组成的整体。“扩延范围”简称为“扩围”

“起效素数”，即是“起到有效排除作用的素数”的简称。“起效素数有效排除力总和”，即是起到有效排除作用的素数的有效排除力相加总和。

关于“起效素数与起效素数的有效排除力”的内容，笔者在《素数的有效排除与素数没有穷尽》、《奇素数为什么不可穷尽》（《数学学习与研究》2015年第21期、第17期）两文作了解读。主要观点有：

观点1 素数将合数排除出素数之外，不是“一哄而上”的，而是遵循有效排除线而依序“登场”的（见图1）。

观点3 自然数的扩围的素数的量，与起效素数的有效排除力总和有着密切联系，自然数的扩围的素数的量，可通过自然数的扩围的素数的量与起效素数的有效排除力总和之间关系的原理而求得。自然数的扩围的素数的量与起效素数的有效排除力总和之间关系的定理为：

自然数的扩围的素数的量=自然数的扩围的自然数的量-（自然数的扩围的自然数的量×起效素数的有效排除力总和）

1.2 对罗卡尔命题的证明

笔者研究结果表明，罗卡尔命题可应用自然数的扩围的素数的量与起效素数的有效排除力总和之间关系的定理做出证明。

例证1 求3与5两个素数的平方之间的素数的量的证明

已知，自然数扩延至“52”时，起效素数共有2、3、5三个，2、3、5此三个起效素数的有效排除力总和为。

第三步，验证。即看三角矩阵（方阵）的每一行自然数是否都存在素数，如是，则证明杰波夫猜想成立，否则就不成立。

验证结果：从图3看出，三角矩阵（方阵）中的可被起效素数整除的自然数筛去后，从三角矩阵的第二行起，每一行自然数均剩有2个以上自然数（即是素数），可见，杰波夫关于在n2和（n+1）2之间有一定素数的猜想成立。此证。

3 张尔光发现并证明：在“《n-1》×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间”均存在一定素数

笔者在研究素数的过程中发现，在比“n2和（n+1）2”更小的自然数扩延范围——“（n-1）×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间”均存在一定素数。

3.1 应用起效素数的有效排除力总和原理的证明

第二步，将图4自然数中的合数用方框框上，那么，没框的自然数就是素数。

第三步，验证。即看三角矩阵的每一行的“（n-1）×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间”的自然数是否都存在素数，如是，则证明成立，否则就不成立。

验证结果：从图4看出，三角矩阵中的可被起效素数整除的自然数筛去后，从三角矩阵的第二行起，每一行“（n-1）×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间”的自然数均剩有1个以上自然数（即是素数），可见，关于在“（n-1）×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间存在一定素数的问题成立。此证。

至此，笔者觉得有必要多说两句的，罗卡尔命题、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之间和‘n×n至n×（n+1）之间存在一定素数”的问题，同属于“自然数扩围的素数的量与起效素数的有效排除力总和之间关系的问题”，笔者研究结果表明，依照循序逐增规律，设置的自然数扩延范围，不论是依序前后两个素数的平方之间，还是依序前后两个自然数的平方之间，抑或是“（n-1）×n至n×n之间”和“n×n至n×（n+1）之间”，随着n（或P）的循序逐增，其自然数扩围在不断扩大，而自然数扩围越大，其存在的素数的量也越大。据此，我们可作这样推理，既然最小的自然数扩围“2×2至2×3之间”存在素数，而在其后、比之更大的自然数扩延范围没有理由不存在素数，而罗卡尔命题、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之间和‘n×n至n×（n+1）之间存在一定素数”的问题也没有理由不能成立。

[责任编辑：汤静]