陈科成，班桂宁，聂婷婷

(广西大学数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004)

扩张p6阶Φ41(16)家族群

陈科成，班桂宁，聂婷婷

(广西大学数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004)

利用群的扩张理论与自由群理论得到p6阶Φ41(16)群的扩张, 并且给出了它们的一些性质, 最后特别地验证了新得到群为LA-群.

有限p-群; 群的扩张; LA-群; 自由群

在Augustin-Louis Cauchy, Niels Henrik Abel, Galois等一批数学巨匠创造群论以来, 群论已经极大地推动力数学的发展, 在多个领域内熠熠生辉. 其中有限p群是有限群最基本和最重要的分支之一. 在有限非交换p-群中有一类有限p-群把其定义为LA-群，LA-群:p-群G满足|G||Aut(G)且|G|>p2. 在LA-群及有限p-群自同构的研究上俞曙霞与班桂宁教授获得到了一些有价值的成果[1-4]。本文结合Rodney James关于p6阶的分类[5]对Φ41家族进行扩张, 基于所得的扩张形式，运用自由群理论证明扩张形式构成群. 对新得到的p-群进行研究, 得到新群的一些基本性质. 最后利用中心内自同构的方法证明新群是LA-群.

1 主要引理

引理1[6]设G是群,a,b,c∈G

1)[a,b]-1=[b,a];2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.

4) 若[a,b]∈Z(G), 又设n是正整数. 则有[a,bn]=[a,b]n.

引理3 如果,Z(G)≤Φ(G) 那么G为PN-群.

注:群的一般符号均可参看文献[6].

2 主要结论

定理1 可把p6群中的Φ41(16)群扩张成群:G=〈α1,α2,β,β1,β2,γ|[α1,α2]=β,[β,α1]=β1,[β,α2]=β2,[α1,β1]=γ,[α2,β2]=γ-ν,α1pt1=α2pt2=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6=1〉, 根据扩张可得G构成群的充要条件是:{t1,t2}≤t3≤{t4,t5}≤t6, 其中v表示模p的非二次剩余类的最小的整正数. 且|G|=pt1+t2+t3+t4+t5+t6.

2.1 求成群的限定条件

首先假设定理中所给的G是一个群. 由换位子可得下列共轭式子:

γpt1=γpt2=γpt4=γpt5=1,βt1=β2t3= 1 ,β1t1=β1t3= 1.

因为已知o(α1)=pt1,o(α2)=pt2,o(β)=pt3,o(β1)=pt4,o(β2)=pt5,o(γ)=pt6, 所以{t1,t2}≤t3≤{t4,t5}≤t6.

2.2 进行两次扩张得到G并且证明定义关系的确定性

2.2.1 第一次扩张并确定其定义关系

G(1) =〈α1,β,β1,β2,γ|[β,α1] =β1,[α1,β1] =γ,α1pt1=βpt3=β1pt4=β2pt5=γppt6= 1,t1≤t3≤{t4,t5}≤t6>的存在性, 且G(1)中所给的关系即为群G(1)的定义关系. 令:

N……