刘富裕， 许 敏， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

若干q-差分方程的形式解及其应用

刘富裕， 许 敏， 曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

随着非线性数学和量子数学的快速发展，组合数学中复杂的积分运算与有限的求和公式是制约研究进展的重要因素.本文构造以q-指数算子作为形式解的q-差分方程，并利用q-差分方程形式解方法推广Sears公式、Al-Salam-Carlitz多项式生成函数、Andrews-Askey积分、q-Chu-Vandermonde公式等.

q-指数算子；q-差分方程；Andrews-Askey积分；q-Chu-Vandermonde公式；Sears公式

0 引言

q-算子对应的q-差分方程，以及它形式解的应用，是当今计算数学研究的重要课题之一，经典T(a,bDq)算子与E(a,bθq)算子，对应含3个参数f(a,b,c) 的q-差分方程形式解以及包括他们推广的研究，已经相当成熟了.

自q-微分算子被定义以来，众多学者深入研究了q-算子问题，获得了许多有意义的研究结果[1-5].其中Chen，Liu[4,6]得到的结果是在算子

等等方面.2009年Lu[7]在前人的基础上，又进一步推广成

对于q-差分方程与q-算子关系，Lu[7]和Liu[8]分别把T(a,bDq)、T(bDq)算子与q-差分方程巧妙的结合，并利用这种关系给出许多推广和应用.2013年Cao[9]把差分方程的形式解，由原来含有3个参数的f(a,b,c)，推广到5个参数f(a,b,c,d,e).

然而，在这些研究中T(a,bDq)算子较多用于含有分式的函数，而E(a,bθq) 算子相对较少作用于含分式的函数.这导致它们的拓展与推广很受限制.鉴于此，本文将进一步拓展，在文章的第三部分，给出了几个关于指数算子的定理，并得到了相应的两个含3个参数g(a,b,c)的q-差分方程形式解

(Ⅰ)g(a,b,c)是一个含3个参数的函数，且g(a,b,c)=(0,0,0)∈C.若g(a,b,c)满足差分方程

(c-b)g(a,b,c)=abg(a,bq,cq)-bg(a,b,cq)+(c-ab)g(a,bq,c).

那么，可以得到

g(a,b,c)=T(a,bDc){g(a,0,c)}.

(Ⅱ)g(a,b,c)是一个含3个参数的函数，且g(a,b,c)=(0,0,0)∈C. 若g(a,b,c)满足差分方程

aq-1g(a,b,c)=(aq-1-b)g(a,bq,c)+bg(aq-1,bq,c)+abg(aq-1,bq2,c)+abg(a,bq2,c).

那么，可以得到

g(a,b,c)=E(a,bDc){g(a,0,c)}.

第四、五、六部分论述了它们的对经典公式的拓展与推广.

1 预备知识

下面介绍下q-级数的相关定义以及一些简单的性质

定义1 对于任意的a,q∈C，定义q-升阶乘为

(1)

定义2 对于任意的a,q∈C,定义q-升阶乘为

(2)

定义3 对于任意的n,k∈N，定义q-二项式系数为

(3)

由上面的定义，很容易得到下列关系式

(a;q)n=(a;q)∞/(aqn;q)∞,

(a;q)n+k=(a;q)n(aqn;q)k.

定义4 对于任意的s,t∈Z+，定义q-基本超级几何级数为

(4)

定义5 对于任意的函数f(x)，q-微分算子定义为

(5)

定义6 对于任意的函数f(x)，q-移位算子定义为

ηf(x)=f(qx),ηn{f(x)}=η{η(n-1){f(x)}},n=2,3….

(6)

为方便起见,记η0{f(x)}=f{x}

定义7[10]θq算子与Dq算子关系为

θ=η-1Dq.

(7)

定义8[3-4]Chen，Liu分别给出了下面q-指数型算子的定义

(8)

(9)

定义9[11]Fang给出了E(bθ)推广形式

(10)

Chen，Gu[2]给出了算子T(bDq)的推广形式

(11)

定义10(q-Leibniz法则)设n≥0,则下列式子成立

(12)

(13)

式(12)的证明可参阅Al-Salam，Verma[12], Roman[13]，式(13)的证明可参阅 Roman[13]，Chen，Liu[3].

定义11[2]设k是非负整数，可以得到

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2 q-错位指数算子与两个差分方程

在这一部分，主要研究两个利用错位算子构造的两个方程，也是本篇论文核心结果.

引理1 我们有

(19)

证明 等式(19)的左边等于

引理2 我们有

(20)

其中|at|<1.

证明 等式的左边可等于

引理3 我们有

(21)

其中|cv|<1.

证明 利用q-Leibniz公式，引理3左边转化为

(22)

由引理1，等式(22)等价于

(23)

即为等式(21)的右端，证毕.

引理4 我们有

(24)

其中max{|as|,|at|<1}

证明 等式(20)的左边可等于

(25)

证毕.

定理1 针对上述引理中错位算子E(a,bθq)和T(a,bDq),得到

(Ⅰ)g(a,b,c)是一个含3个参数的函数，且g(a,b,c)=(0,0,0)∈C. 若g(a,b,c)满足差分方程

(c-b)g(a,b,c)=abg(a,bq,cq)-bg(a,b,cq)+(c-ab)g(a,bq,c).

(26)

那么，可以得到

g(a,b,c)=T(a,bDc){g(a,0,c)}.

(27)

(Ⅱ)g(a,b,c)是一个含3个参数的函数，且g(a,b,c)=(0,0,0)∈C. 若g(a,b,c)满足差分方程

aq-1g(a,b,c)=(aq-1-b)g(a,bq,c)+bg(aq-1,bq,c)+abg(aq-1,bq2,c)+abg(a,bq2,c).

(28)

那么，可以得到

g(a,b,c)=E(a,-bDc){g(a,0,c)}

(29)

注 虽然上述与 Lu[7]，Liu[8]，Cao[9]都是含有3个参数的差分方程，但由于对应的算子结构不同，导致形式各异，也各有其优越性.

证明 定理1(Ⅰ) ：设函数

(30)

把它代入1(Ⅰ)差分方程可得到

(31)

等式两边对比bn系数，可以得到

(32)

依次叠代可以得到

(33)

令b=0可以得到A0(a,b)=g(a,0,c)，于是就得到定理1(Ⅰ)的结果了.类似的证明定理1(Ⅱ).证毕.

3 q-Chu-Vandermonde公式的拓展

下面是q-Chu-Vandermonde公式[14]：

(34)

在这一部分，我们得到了q-Chu-Vandermonde公式一般推广，并用q-差分方程给予证明.

定理2 设n,M∈N，如果a=q-M或x=q-M，我们得到：

(35)

注 当x=0时，定理2转化成等式(34).

引理5 设M∈N,a=q-M,max{|yt|,|ydt|}<1，有

T(a,xDy){(eyqk,eyqn/d;q)∞}=

(36)

(37)

证明 根据q-算子定义，以及q-Leibniz法则,等式(36)左边可变换为

(38)

这就是(36)的右边，类似的也可以证明(37).下面来证明定理2.

定理2证明 首先，把等式(34)转化成

(39)

其次，等式(35)也可转化为

(40)

如果设等式(40)右边为J(a,y,x)，因为J(a,y,x)满足q-差分方程1(Ⅰ)，所以得到

(41)

这就是等式(40)的左边，再利用(36)证毕.

4 Sears公式的推广

在这一部分，主要阐述利用错位算子对Sears公式两个推广.下面先介绍Sears公式

(42)

这里有max{|ce|,|de|,|ac|,|ad|,|bc|,|bd|}<1.

定理3 我们有

(43)

定理4 我们有

(44)

这里有max{|q-1g/a|,|ce|,|de|,|bt|,|et|,|at|,|ab|,|abcd|,|ad|,|ac|}<1.

证明 利用引理3错位算子T(d,eDa)可以得到

(45)

(46)

令H(d,e,z)和h(d,e,z)分别表示等式(45)、(46)的右边.易验证H(d,e,z)和h(d,e,z)都满足差分方程1(Ⅰ)，所以

(47)

这就是式(45)左边，把式(46)代入就可得到定理3.类似的我们可以证明定理4.证毕.

5 对Al-Salam-Carlitz多项式生成函数的推广

首先，我们了解下一些多项式

Roger-Szego多项式[15]

(48)

Al-Salam-Carlitz多项式[16]

(49)

已经被推广的多项式生成函数有[17]

(50)

(51)

定理5 设M,N∈N,a=q-m，可以得到

(52)

(53)

这里要求max{|yt|,|ydt|}<1.

引理6 设M∈N,a=q-M,max{|yt|,|ydt|}<1，有

(54)

(55)

证明 根据q-算子定义，以及q-Leibniz法则,等式(54)左边可变换为

(56)

这就是(54)的右边，类似的我们也可以证明(55).下面来证明定理5.

定理5证明 等式(52),(53)的左边分别为

(57)

与

(58)

再利用定理1差分方程，以及引理6，于是定理5得证.证毕.

6 结 论

通过第四、五、六部分的具体应用，可以看出，本文提出的错位算子E(a,bθq)与T(a,bDq)以及q-差分方程的形式解应用，显示了独特的优点.

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Some Formal Solutions ofq-difference Equation and their Applications

LIU Fuyu, XU Min, CAO Jian

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

With the rapid development of nonlinear mathematics and quantum mathematics, in the combinatorial mathematics, the complexity of integral operation and the finiteness of summation formula are the important factors which restrict the progress of researches. This paper constructs theq-difference equation withq-exponential operator as the formal solution, and uses the formal solution way ofq-difference equation to generalize Sears formula, Al-Salam-Carlitz polynomial generating functions, Andrews-Askey integral,q-Chu-Vandermonde formula, etc.

q-exponential operator;q-difference equation; Andrews-Askey integrator;q-Chu-Vandermonde formula; Sears formula

2016-05-16

曹健(1982—)，男，副教授，博士，主要从事q-级数、生成函数研究.E-mail:21caojian@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.02.012

O177.91 MSC2010：47H10,54H25

A

1674-232X(2017)02-0187-08