毛传林

摘要：众所周知，所有的整数能够被分成奇数和偶数两大类，我们也经常选0作为偶整数这一类的代表，选1作为奇整数这一类的代表。我们对自然界中存在的各种物体，看到的各种现象都在进行着分类，并选出一类中的某个典型代表作为这一类的标准型。

关键词：翻棋 数学 转化 分类 标准型

整数分为奇数和偶数，二次曲线分为椭圆和双曲线。给定一个二次曲线方程，怎么判断其是椭圆还是双曲线？常见的做法是将曲线方程化为标准型，然后再加以判别。实际上，此方程中蕴涵着转化、分类，并从每一个类中选出一种最为简单、最能够反映性质的元素，作为这一类元素代表的逻辑过程。此外，每一个类中的元素，由于都能够转化为标准型元素，所以同一类中的元素之间实际上是可以相互转化的。本文以“翻棋”游戏作为研究对象，简单浅析说明转化、分类、确定标准型这一深刻的数学思想。

“翻棋”游戏常常被描述如下：在3× 3方格中有9颗棋子（棋子的正面是黑色，反面是白色）。每次任选一行或者一列，把所选行或列的全部棋子正反面翻转叫做一次T操作。请问：能否经过有限次T操作，将某个图形下的棋子全都变成黑色朝上？

一、1× 1方格和2× 2方格

3× 3方格里面9个棋子，每个棋子正反面又分别有黑白两种颜色，这样对应的图形将会产生29（=512）种可能情况，似乎太多了点。我们先来考虑1× 1方格和方格2× 2方格两种较为简单的情况吧。

很容易看到1× 1方格只有一个格子，里面棋子如果是正面黑色朝上，那么不用操作，或者说经过0次T操作，就把全部棋子变成黑色朝上了；……