杨鑫波

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400065)

高等数学教学过程的博弈分析

杨鑫波

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400065)

针对高等数学课堂教学过程中存在的一些问题，利用博弈论方法建立模型并求解，结合模型结果提出解决策略。

高等数学教学；博弈论

博弈论是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策，以及这种决策的均衡问题的理论，它既是现代数学的一个新的分支，也是运筹学的一个重要学科。1944年，冯·诺依曼和摩根斯坦在其《博弈论与经济行为》中首次对博弈理论进行了系统化和形式化的描述，标志着博弈论作为一门学科的建立。1951年，纳什博士论文《非合作博弈》的发表，为博弈论的发展奠定了坚实的基础。根据博弈论参与人之间是否合作，博弈可以分为合作博弈和非合作博弈。“合作博弈和非合作博弈的区别在于相互发生作用的当事人之间有没有一个具有约束力的协议，如果有，就是合作博弈，如果没有，就是非合作博弈。非合作博弈是策略导向的，它研究的是参与博弈的决策主体如何产生所期望的行为，是对博弈所发生事情的精确描述，因此非合作博弈是研究微观层面的理论。而合作博弈是成果导向的，它研究的是参与博弈的决策主体在哪些方面能达成一致，如何能达成一致以及在形成联盟时如何分配他们的共同收益。合作博弈关心的是参与人可行的结果，而不是关心这些结果是如何产生的，因此合作博弈是研究宏观层面的理论。”[1]非合作博弈在研究不对称信息情况下市场机制的效率问题上发挥了重要作用，从而使非合作博弈相对于合作博弈在经济学中占据了主流地位。经过半个多世纪的研究和拓展，博弈论已经成为整个社会科学特别是经济学的核心，是一种重要的研究方法和工具。新建本科院校主要是由高职院校升本，成人本科院校改制，院校合并或新建独立学院等形式所建立的新的本科院校。与其他办学历史比较悠久、学科专业发展比较成熟、服务对象比较稳定、人才培养模式大致定型的院校相比，新建本科院校必须错位发展，找准自己的“市场”定位。尽管这类高校的学科及专业建设抓住了一些战略机遇，得到长足发展，但随着发展的深入，存在的问题也比较明显，有些问题严重影响教学质量。教学质量是学校的生命线，关系学校能否在普通本科院校里站住脚，关系学校的兴衰成败。笔者作为一名基层教师，在高等数学教学过程中发现诸多影响教学质量的问题，并试图解决。本文在已有研究成果的基础上，试图利用博弈论工具，从教学过程视角对师生博弈进行分析，提出提高教学质量的建议。

一、课堂教学存在的问题

提高教学质量，课堂教学过程尤为重要。一些新建本科院校部分专业的高等数学教学存在许多问题，对教学效果有着严重影响。

(1)生源质量有所下降，教学难度加大。高校扩招后，生源质量下降，学生学习基础和习惯差。大多数学生没有课前预习的习惯，上课时直接带着教材就来，有的甚至连教材都不带。上课时不少学生精力难以集中，不认真听讲，也不怎么做笔记，对黑板上教师反复强调的重要内容，也只是心不在焉地拿出手机拍张照片。可以想见，学生在课堂上对有详细推导过程的结论都漠不关心，课后更不会去草稿本上对所学内容进行推演。有的学生上课躲在最后几排玩手机，有的课后或者晚上玩手机，没有休息好，上课来补觉，有的直接旷课，这种“混世魔王”的比例有逐年递增的趋势。笔者也反思过是不是因为所讲的数学知识太过乏味，导致学生学习积极性不高，尝试在教学过程中多讲一些名人轶事或知识点的应用。当讲趣事时大多数学生的表现是，讲故事可以，讲数学就没兴趣，仍有个别学生依旧不以为然。由于生源质量下降，对教学效果带来严重冲击。

(2)高等数学教学课时被削减，教学过程仓促。有的院校为更好地培养学生的应用实践能力，在培养方案中削减理论教学课时。在保证知识够用的前提下，对教材中理论性强的内容做了删减，剩下的内容都是浅显的基础知识。另外，学校时常动员高年级学生考研，而考研对数学基础的要求比较高，学生的数学基础太差也不会贸然考研。作为任课教师希望学生以后能更好地发展，尽量多讲些知识以培养考研的苗子。由于课时量非常紧张，教师在把教材内容全部覆盖的前提下，很多教学章节的内容只能把开始几节的入门内容讲完，后面的只能略讲，根本没时间展开，导致所讲内容偏简单，对教学质量有一定影响。如果学生上课时不积极配合，或者旷课，教学效果会更糟，有考研想法的学生人数就会减少。

(3)教学资源不足。由于应用型本科院校主要重视培养学生实践应用能力，数学师资的配备相对不足，普遍采用合班教学，大班上课(许多重点大学数学课也是上大课)。这种教学方式本身没有问题，但由于新建普通本科院校学生学习的自觉性相对较差，学生会利用大班上课这种方式逃课，或者上课玩手机，看其他书籍等。上课考勤是很有必要的，如果教师总是不考勤，会助长学生旷课的不良风气。由于人数众多，多个班级学生混坐，考勤至少10分钟。本来教学课时量减少后，对教学任务的完成带来挑战，所以教师只有在能保证完成教学任务的前提下，有多余时间再抽查学生的出勤情况，对缺席的学生进行监控和警告。目前来看，学生出勤情况不理想，有的学生常以考驾照或参加学校社团活动名义请假，还有的学生多次旷课，屡教不改，家长也无能为力。数学本身是逻辑性非常强的学科，知识点联系紧密。个别同学因为一次缺席，课后又不去补习，导致后续数学知识不能理解，从此一蹶不振。

二、课堂教学中的师生博弈模型

学生在学习过程中出现的问题，需要社会、学校、家庭、班主任、任课教师以及学生来共同解决。接下来将任课教师与学生的教学关系用博弈论中的严格监督博弈来描述。

为了建模和分析问题方便，假设模型中的字母均大于零，含义解释如下：

a：表示学生努力学习带给教师的效用大小，相反如果学生不努力，教师的效用为-a；

c：表示教师对学生进行严格监督时所需付出的成本；

R：表示教师严格监督的条件下，学生努力学习的收益；

S表示教师不严格监督的条件下，学生努力学习的收益(S

F：表示由于教师的严格监督激励学生，教师获得的教学效果的增加(F>c)；

T：教师在严格监督过程中，对不努力学习的学生采取的处罚，造成学生效用损失；

W：表示教师课堂监督不严，学生可用时间增多而获得的其他成就。

图1是课堂上师生双方教学的博弈支付矩阵。

图1 博弈支付矩阵

由假设条件和支付矩阵可知，此博弈不存在纯策略均衡，即决策者的最优决策都要依赖于对方的行动，任何一个纯策略组合都有一个参与者会单独改变策略，故模型是不稳定的。教师采取严格监督方式时，学生就会努力学习，当学生努力学习时，教师会放松监督，这将节省教师的成本，教师监督不严，学生容易偷懒，所以教师的最优选择是实行严格监督。根据纳什均衡存在定理：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡，因此该博弈存在混合策略纳什均衡。用λ表示教师严格监督的概率，1-λ为不严格监督的概率，θ表示学生努力学习的概率，1-θ为不努力的概率。可得教师和学生的期望收益函数

π(1，θ)=θ(a-c)+(1-θ)(-a-c+F)

π(0，θ)=θa+(1-θ)(-a)

这里，这个混合策略是教师的最优选择，则教师选择严格监督和不严格监督是无差异的，即

π(1，θ)=π(0，θ)

同理，若教师的混合策略为(λ，1-λ)，学生选择努力学习(θ=1)和不努力学习(θ=0)的期望收益如下：

π(λ，1)=λR+(1-λ)S

π(λ，0)=λ(-S-T)+(1-λ)(-S+W)

由π(λ，1)=π(λ，0)

三、提高课堂教学质量的几点建议

通过上面的博弈分析，可以发现，教师为了让学生努力学习，提高教学效果，可采用以下措施。

(1)降低教师的监督成本。比如学校加大投入，增加师资配备，小班教学，或配备助教协助教学等。这样可以使教师不必顾虑出勤率，或学生上课是否认真听讲。在监督成本不高的情况下，还可以设计阶段性小测验，掌握学生的学习情况，促使学生加强课余学习。比如借助互联网技术，建立与课程配套的网站资源，让学生在线提前预习教师所讲内容或完成课后练习，系统自动评阅，并把结果反馈给学生和任课教师，让教师时刻掌握全班同学的学习动态，根据学生的总体情况因材施教，提高教学质量。这样教师可以用更多的精力去备课，组织研讨，提升自我素养，进一步提高教学质量。

(2)加强对学生的监督，加大对不努力学习的学生惩罚力度。教师在课堂上加强对学生的严格监督，让所有学生都认真听课，积极思考，努力学习。这项措施的顺利实施不仅需要教师的努力，还需要学生家长的配合和学校制度的支持。由于目前很多学生是独生子女，当教师对学生严格要求时，个别家长不能理解教师的做法。有个别同学上课睡觉，教师对其批评教育，希望他好好学习，学生却认为这样做伤害了他的自尊心，甚至提出让教师道歉的奇葩要求。为什么会出现搞教育的不敢教育学生的 “窘境”？无非是教师在某种程度存在弱势，这就需要学校和社会赋予教师更多教育的权利。另外，由于现在很多学校对学生考试不合格，退学的处理比较谨慎，导致很多学生觉得无论学习有多糟糕，学校一定不会让其退学。一旦高年级的学生把这一秘密告诉给低年级的学生后，更多的学生会选择不学习，更多“问题”学生会对教师的严格监督置之不理，并要求教师降低要求。这样任课教师的严格监督管理，都会付诸东流，教学效果就无从谈起。

(3)教师应努力提高教学质量，改革教学方式，引导学生努力学习。从模型求解结果可知，教师提高教学质量可以让学生获得更多知识，使学生感到努力学习的收益远高于不努力学习的情形。教师在上课之前首先要吃透教材知识点内容，再根据不同专业要求，不同学生基础，选择恰当的教学方式讲解相应教学内容。在教学过程中不仅要完成教书的任务，还要实现育人的目标。由于应用型本科专业对高等数学学习的侧重点不同，因此在教学过程中应根据不同专业，选择高等数学教学内容和教学方式。例如，对于应用性较强的知识点，教师仅选讲教材部分内容，然后布置相关作业或任务，让学生分小组完成，然后上台答辩，其他小组学生进行提问。让学生在做任务的同时，完成对相关知识点的学习，既培养了学生自学能力和团队合作能力，又让整个教学过程变得更加立体生动，形成积极互动的良好氛围。除此之外，还可以改变传统考核方式。高等数学一般通过期末闭卷考试来考查学生学习情况，这种方式有其合理性，也有一些弊端，比如部分同学平时学习不认真，期末突击一下，甚至考试时作弊，考完就全忘掉。我们可以尝试减少期末考试的权重，注重平时学习成绩，或完成小组任务的质量进行综合考评，引导学生努力学习。

[1]董保民，王运通，郭桂霞.合作博弈论[M].北京：中国市场出版社，2008.

[2]杜志宏．博弈论视野下的和谐师生关系构建[J]．浙江师范大学学报(社会科学版)，2011(2)23-26.

[3]诸濛.浅析成绩考核方式与教学效果的博弈[J].江西青年职业学院学报，2009,19(1):83-85.

[4]胡燕，龙游宇.高校教师行为激励机制的博弈分析[J]．经济师，2005(11)：98-99．

[5]乔颖，李涛，田杨.大学生逃课现象原因与对策探析[J].中国高教研究，2006(3)：78-80.

[6]龚谊承，赵喜林，李寿贵.课堂点名现象的博弈分析[J].中国科教创新导刊，2009(31)：128-129.

[责任编辑 刘江南]

2016-06-08

重庆市教育委员会项目“合作博弈解及其应用研究”(KJ1501407)；重庆第二师范学院教改项目“基于应用型人才培养的‘高等数学’教改探索”(JG2014212)

杨鑫波(1982— )，男，重庆永川人，讲师，研究方向：最优化理论及应用。

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