江苏省南京市金陵中学高三（6）班 顾宇婧

探究利用导数研究切线问题的解题视角

江苏省南京市金陵中学高三（6）班 顾宇婧

导数是高中数学限定选修课中的重要内容，是联系中学数学与大学数学的纽带，为以后进一步学习微积分奠定基础。导数作为一种重要的数学解题工具，为研究高中函数问题提供了广阔的思维空间，经过高考复习一个阶段的学习，深感到导数在高考中的地位，尤其是解决与切线有关的问题成为历年高考的热点之一。为此，本文探究利用导数研究切线问题的几个解题视角，供同学们复习时参考。

一、研究导数的几何意义——切线的斜率问题

解题视角：利用导数的几何意义k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率，从而结合斜率与倾斜角正切函数的关系以及斜率与两条直线位置的关系等知识解决问题。

二、研究切线的方程问题

解题视角：（1）求曲线切线方程的步骤：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y-y0＝f(x0)·(x-x0)。（2）研究曲线的切线方程时需注意两点：①要分清题设中是“在某点”还是“过某点”，当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解；②恰当利用隐含条件：切点在切线上，切点也在曲线上以及导数与斜率公式结合使用。

三、研究公切线问题

例5 （2013高考新课标I卷）已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2。（1）求a，b，c，d的值；（2）略。

分析：由已知得：

解题视角：本题中两个函数“在”同一点，说明切点就是该点且该点也是两个函数的公共点。两个函数在同一点的公切线方程的求解，可转化为解方程组但要注意如果切点不在同一点时，不可以用该方程组，而是需要求两次切线方程，并证明切线方程重合。

四、研究切线的条数问题

在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，g(x)=12x2-12x=12(x-1)，列表可以求得：g(0)=t+3是g(x)的极大值，g(1)=t+1是g(x)的极小值，借助于图形讨论综合可知：当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是(-3,-1)。

五、研究与切线有关的综合问题

例9 （2015江苏高考） 某山区外围有两条相互垂直的直线形公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线形公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型。

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t。

①请写出公路l长度的函数解析式f(x)，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。

解题视角：有关切线的综合问题，首先利用导数的几何意义k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率，或利用点斜式求出切线的方程，然后结合其他章节知识综合求解问题。

总之，由于高考对导数考查的深度与广度在不断增加，所以要深刻理解导数的几何意义及有关性质，导数作为一种解题工具，充分体现了数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想,尤其对函数图象的切线的研究更是彰显了其独特魅力。