史玉林

数学作为工具学科，其知识、思想和方法始终渗透、贯穿于整个高中物理的学习和研究过程中，它为学生进行抽象思维和逻辑推理提供了有效的方法，为物理学中的定量分析和计算提供了有力的工具.在处理某些物理问题时，常用的数学方法有导数分析法、向量分析法、圆锥曲线法、函数表达法、数列分析法等.

一、导数分析法

例1 如图1所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为m， 发生共振时，单摆振动过程中最大速度为m/s.

（π2=10，g=10 m/s2）图1

解析由图1可知，该单摆的固有周期为2s，由周期公式T=2πlg，可计算出摆长约为1 m.由图像所提供的相关数据，可知该单摆在共振时的振动方程为x=0.08sin（πt+φ），因dxdt=v，故上述方程对时间t求导，即可得共振时的速度方程为v=0.08πcos（πt+φ）.当cos（πt+φ）=1时，即单摆在发生共振时有最大速度，数值为vmax=0.08πm/s.

二、向量分析法

例2从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们初速度的大小分别为v1和v2，初速度的方向相反，经过t=两球速度之间的夹角恰为900.（不计空气阻力）

解析考虑到两小球在平抛过程中水平速度大小不变，竖直速度大小随时间呈线性变化.若规定其中一球速度向量为（v1，gt），则另一球的速度向量可表示为（-v2，gt）.由数学知识知：若两向量A（x1，y1），B（x2，y2）互相垂直，则满足x1x2+y1y2=0.那么，对于本题而言，当两球速度之间的夹角恰为90°时，有-v1v2+g2t2=0，从而解得t=v1v2g.

三、圆锥曲线法

例3如图2所示，在双曲线x216-y29=1的两个焦点F1和F2放置两个频率相同的波源，它们激起的波的波长为4 cm.就图中A、B、C、D四个质点的振动，下面说法中正确的是（）.图2

A. 若A、B振动加强，则C、D振动一定减弱

B. 若A、B振动加强，则C、D振动加强

C. A、B、C、D一定振动加强

D. A、B、C、D一定振动减弱

解析由于A、B两点在双曲线上，根据数学知识中双曲线的基本定义可知，A、B两点分别到两焦点F1、F2距离的差值的绝对值Δx为一定值.由双曲线的方程可知该定值Δx=8 cm.从高中物理机械振动和机械波的角度来理解，该差值恰为振动中的波程差，且满足Δx=2λ.当两振源起振方向相同时，A、B两点为振动加强点，若两振源起振方向相反时，A、B两点为振动减弱点，但本题对两振源的起振方向并没有明确的说明，故选项C、D不正确.由于C、D两点分别到两振源的距离差值为0，若A、B振动加强，C、D也一定振动加强，故该题正确选项为B.

四、函数表达法

例4为了测量由两节干电池组成的电池组的电动势和内电阻，某学生设计了如图3甲所示的实验电路，其中R为电阻箱， R0=5Ω为保护电阻.断开开关S，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值.多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R，并以1U为纵坐标，以1R为横坐标，画出1U-1R的关系图线（该图线为一条直线），如图3乙所示.由图线可求得电池组的电动势E=

V，内阻r=Ω.（结果保留两位有效数字）

解析根据闭合回路欧姆定律知：E=U+UR（R0+r），根据乙图横、纵轴信息对上述表达式变形可得相应的函数表达式为：1U=R0+rE·1R+1E，由乙图中所反映的截距和斜率信息可得：1E=0.35和R0+rE=1.42-0.350.5，联立方程组解得E=

2.9 V，r=1.1 Ω.

五、数列分析法

例5现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.在真空中存在着如图4所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射.

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；

（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn .

解析粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功.由动能定理，有

2qEd=12mv22（1）

由（1）式解得 v2=2qEdm（2）

粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有qv2B=mv22r2 （3）

由（2）（3）式解得

r2=2BmEdq（4）

（2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同）.

nqEd=12mv2n（5）

qvnB=mv2nrn（6）

粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn（7）

由圖5看出rnsinθn-rnsinαn=d（8）

由（6）（7）（8）式得

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d（9）

由（9）式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d（10）

当n=1时，由图6看出r1sinθ1=d（11）

由（5）（6）（10）（11）式得sinθn=Bnqd2mE

小结物理和数学息息相关，学生在解答某些物理问题的时候，如果能灵活应用数学方法，将物理题目中原本复杂的问题，化难为易或化抽象为形象，可以让人一目了然，从而对题目进行便捷的求解.综上，以上各种数学方法的应用，足以说明数学在高中物理课程中的重要性.

（收稿日期：2016-09-16）