徐玉霞，雷英杰，侯 强

(中北大学 理学院，太原 030051)

矩阵方程ATXA=C的对称M对称最佳逼近解

徐玉霞，雷英杰，侯 强

(中北大学 理学院，太原 030051)

在结构动态模型修正中，通常需要修正刚度矩阵与质量矩阵以满足正交条件。通过研究它们的极小二乘逼近解对其进行修正。故在对称M对称矩阵集中，利用标准相关分解(CCD),获得了矩阵方程ATXA=C的对称M对称极小二乘解；在此基础上应用广义奇异值分解(GSVD)和投影定理,得到了给定矩阵的极小二乘解的对称M对称最佳逼近解。

对称M对称矩阵；投影定理；标准相关分解；极小二乘解；最佳逼近解

1 预备知识

定义[1]设M∈Rn×m，若矩阵X∈SRn×n，满足(MTXM)T=MTXM，则称矩阵X为对称M对称矩阵。

矩阵方程ATXA=C来源于振动理论逆问题，这一问题在机械系统和土木工程结构中有实际应用背景[2-3]。比如在修复振动模型中往往需要满足以下正交条件：

ATMA=Im,ATKA=Δ

2 问题1的解

(1)

(2)

其中：Q∈ORm×m是正交阵；M∈Rr×r,N∈R(n-r)×(n-r)是非奇异矩阵。

且

进一步,记

(3)

这里：

(4)

其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩阵。

(5)

将式(2)～(3)代入式(5)并利用Q的正交性可得

对式(6)求极小二乘解可得:

(8)

而f(aij,fij,gij)是关于aij、fij、gij的凸连续可微函数。故式(8)成立，当且仅当

直接计算可得

将其写成矩阵形式为

从而

最后，将所有极小二乘解代入式(3)则得式(4)，其中F11、G11和Ai4、Fi1、F1i、F4i、Fi4、G4i、Gi4(i=1,2,3,4)是任意矩阵。证毕。

3 问题2的解

由于式(2)中非奇异矩阵M、N不满足Frobenius范数的正交不变性，故直接通过问题1的解无法解决问题2。为了解决问题2，给出以下投影定理：

下面利用定理2将问题2的极小二乘问题转化为求一相容矩阵方程的解的问题。

引理2 给定矩阵A1和A2，如式(2)，令C∈SRm×m，定义矩阵方程