广东省中山纪念中学(528454) 李文东

利用曲线的切线解题

广东省中山纪念中学(528454) 李文东

切线是曲线割线的极限位置,它反映了曲线的局部的几何性质.如果我们能够利用曲线的切线与曲线的几何位置关系,则能为我们的解题带来极大的方便,本文举例加以说明,展示切线的作用.

一、利用切线构造函数不等式

我们知道：若f(x)在区间[a,b]上为凸函数,则f(x)在区间[a,b]上任意一点处的切线位于函数f(x)图像的上方(除切点外);若f(x)在区间[a,b]上为凹函数,则f(x)在区间[a,b]上任意一点处的切线位于函数f(x)图像的下方(除切点外).

例1.考虑函数y=ex在x=0处的切线：y=x+1,结合函数y=ex为凹函数可得不等式：ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号;进而可得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号.又如考虑函数y=xlnx在x=1处的切线：y=x-1,结合函数y=lnx为凹函数可得不等式：xlnx≥x-1,即≤lnx,当且仅当x=1时取等号;从而有≤ln(x+1),当且仅当x=0时取等号.于是可得经典不等式：≤ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号.

又如函数y=sinx和函数y=tanx在x=0处的切线：y=x;在区间上,函数y=sinx为凸函数,函数y=tanx为凹函数,故有不等式：若,则 sinx＜x＜tanx.

二、利用切线证明不等式

例2.已知a+b+c=1,求证：.

例3.(2013全国卷)设函数f(x)=ex-ln(x+m),当m≤2时,证明f(x)＞0.

证明函数y=ex在x=1处的切线方程为y=x+1,从而有ex≥x+1,等号当且仅当x=0时成立;而函数y=ln(x+m)在x=1-m处的切线方程为y=x+m-1,函数y=ln(x+m)为凸函数,从而ln(x+m)≤x+m-1,等号当且仅当x=1-m时成立;因为m ≤ 2,故ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex,等号不同时成立,从而ln(x+m)＜ex.

三、利用切线讨论函数零点个数问题

例4.已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R),讨论方程f(x)=0解的个数,并说明理由.

解方程 f(x)=x2-alnx=0的解的个数 ⇐⇒x2=alnx的解的个数 ⇐⇒函数y=x2与函数y=alnx的图像交点的个数.设函数y=x2与函数y=alnx在点P(x0,y0)处有相同的切……