广西南宁三中(530021) 王强芳

对两道柯西不等式问题的困惑与解惑

广西南宁三中(530021) 王强芳

笔者在竞赛辅导时选讲了如下题目,

分析1 由于三个被开方数的和是常数,可考虑直接使用柯西不等式,则

证明失败!

分析2 如果将变为这时后面部分式子的三个被开方数的和也是常数,由柯西不等式得

证明成功!

分析3 如果考虑后面两项利用关系,则得

分析4 如果将原式子变为由柯西不等式

上面几种方法中,第一种是直接使用柯西不等式,结果失败了,后面三种都是局部使用柯西不等式而保留变量x,最后利用函数的单调性使得证明成功!为什么会出现这些问题?但是如果我们作以下的变形再直接使用柯西不等式会出现：

分析5由柯西不等式

这种证明方法就成立!这就是我们解这道题的困惑!

题目2(2009联赛15)求函数的最大值和最小值.(先讨论最大值的情形)分析1直接使用柯西不等式,则有

分析2由柯西不等式

即y≤11.当且仅当4x=9(13-x)=x+27,x=9y取得最大值11.显然11＜.两种解法结果不同,至少有一个是错误的！当我们对三个根号配不同的系数且保证三个被开方数的和是常数,肯定会得到不同的结果,究竟哪一种解法是对的呢?下面通过对题2的解答来回答这个疑问.

证法1 由柯西不等式,考虑正数λ,µ使得：

等号成立的充要条件是

由②消去x得

为使得 ①的右端与x无关,令1-λ+µ=0,可得到满足 ③的一组整数解λ=3,µ=2,将它们代入 ①得到y2≤121,即y≤11.由柯西不等式等号成立的条件得4x=9(13-x)=x+27,解得x=9,故当x=9时等号成立,故y的最大……