钱如刚

【摘 要】巧妙地结合古诗词进行数学教学，让学生能由此及彼地联想，定能提高数学教学的效果。

【关键词】中国古诗词；数学教学

中国是有五千多年历史的文明古国，古代文学作品无疑是人类精神文明宝库中极为灿烂的一部分。中国古代诗歌词曲早于先秦发端，历经几千年流传至今，读来仍然让人回肠荡气，实在是一种美的享受。作为数学教学工作者，我突发奇想，试着在讲解数学题时，根据解题思路由感而发，顺口吟上几句，确有画龙点睛的效果。学生们也会随着我的开头齐声应和，既更深刻领会了数学解题思路，又体会了古诗词的高远意境，真是两全其美。德国科学家开普勒曾经说过：“我最珍视类比，它是我最可靠的老师。”。把数学内容与古诗词内容这两者看似风牛马不相及的两件事一类比，你会发现其中滋味妙不可言。现举几个例子说明。

例1：若（a-1）2+（ab-2）2=0，求的值。

解：∵（a-1）2+（ab-2）2=0，（a-1）2≥0，（ab-2）2≥0

∴（a-1）2=0，（ab-2）2=0

∴a=1，b=2

∴原式=

=

=

=

此题有杜牧《过华清宫》为证：“长安回望绣成堆，山顶千门次第开。一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来。”

数学解析：此题解法名曰“裂项法”，用常规方法无从下手，用“长安回望绣成堆，山顶千门次第开。”两句，也可算是一种解析吧。

例2：现规定两种运算“※”和“◎”，对于任意两个整数a，b，a※b=a+b-1，a◎b=ab-1，求1※2◎3

解：1※2◎3

=（1+2-1）◎3

=2◎3

=2×3-1

=5

此题有苏轼词《水龙吟》中几句为证：“似花还似非花，也无人惜从教坠。抛家傍路，无情有思。”

数学解析：这类题目叫做新定义运算，我们学过的加减乘除都有确定的意义。事实上，除了上述的四种运算外，我们还可以根据需要，采用不同的符号，给予新的定义，即所谓新定义运算。新定义运算通常是通过我们熟悉的运算来规定的。但这类问题学生初步接触如坠云雾，真有点“似花还似非花”之感。

例3：解方程：5x2-6xy+2y2-4x+2y+1=0

解：∵5x2-6xy+2y2-4x+2y+1

=（x2-2xy+y2）+（4x2-4xy+y2）-2（2x-y）+1

=

=

∴原方程可以变形为=0

又∵x，y都是实数，（x-y）2≥0，（2x-y-1）2≥0，

∴且，

∴原方程的解是x=1，y=1

此题有唐代诗人柳宗元的《江雪》为证：“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟笠翁，独钓寒江雪。”

数学解析：此题属于数学中的非负数问题。乍一看，一个方程含有两个未知数，无从下手，真是“千山鸟飞绝，万径人踪灭。”，但用配方法，结合非负数的知识，还是能求解的，“独钓寒江雪”，还是有鱼可钓的。

例4：求使关于x的方程2x3-ax2+a2x+a2-

a-6=0有整数根的所有整数a

解：原方程可以看作未知数a的一元二次方程：

当x=-1时，原方程变为：-2x-2-6=0

此时x=-4

当x≠-1时，设两根为a1，a2，则

故x=0，1，-2，-3时，是整数，从而a1+a2是整数

当x=0时，原方程变为a2-a-6=0，解得：a1=3，a2=-2

当x=1时，原方程变为2a2-2a+2-6=0，即a2-a-2=0

解得：a1=2，a2=-1

当x=-2时，原方程变为：-x2-5x-2=0，无实数根；

当x=-3时，原方程变为-2x2-10x-60=0，无实数根。

综上所述，当x=-1，0，1时，方程有整数根：a=-4或a=3或a=-2或a=2或a=-1。

此题还是引用苏轼的《题西林壁》：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”

数学解析：此题如果从关于x的一元三次方程来解，一条胡同走到黑，是做不出什么名堂的，但换一个角度看问题，把它看作关于未知数a的一元二次方程，将会豁然开朗。数学上把這种方法叫做“主元转换法”，用“横看成岭侧成峰”自然可以恰如其分地解析。

例5：若a，b，c是正数，解方程：

解：

=

-=0

∵a> 0，b> 0，c> 0

∴>，>，

>

∴++>

∴++-≠0

∴x-a-b-c=0

∴x=a+b+c

正应了《红楼梦》的作者曹雪芹的两句名诗：“假作真时真亦假，无为有时有还无”。

数学解析：这是一道典型的“无中生有”法解题，这道题目的解法的巧妙之处在于“生”出了三个“1”和一个“3”，问题就迎刃而解了。另外，解题时注意观察，培养洞察事物的能力，才能提高解题水平。

例6： 求函数y=+的最小值.

解：构造如图所示的两个直角三角形，

即Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，PD=4-x，

求最小值可转化为：

在L上求一点P，使PA+PB最小.

取点A关于L的对称点A′连结A′B，

则A′B与L的交点即为所求P点，

故PA+PB的最小值即是线段A′B在Rt△A′EB中，A′B=，

故函数y的最小值为5.

此题有唐初四杰的王勃的《滕王阁序》中的名句为证：“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色。”

数学解析：此题若用代数方法来解很麻烦，通过对函数形式观察，发现：可以看成是以x，1为直角边的三角形的斜边，可以看成是以（4-x），2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决. 本题由数思形，由形思数，不失时机地抓住两者的相互结合和转化，冲破数和形之间的那种固有的差异，更多的强调二者的和谐统一，运用数形结合思想，迅速解决数学问题。华罗庚教授也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事非。”

例7：四边形ABCD中，，AC平分，，，求BC和AB的长。

解：作CE⊥AB于E，CE⊥AD于F

在Rt?BEC中，

在Rt?ACE中，∵AC=7

由勾股定理，

综上所述：BC=5，AB=8。

吟上唐朝著名诗人白居易的《长恨歌》里的前四句：“汉皇重色思倾国，御宇多年求不得。杨家有女初张成，养在深闺人未识。”，白居易的《长恨歌》运用转化思想可谓足矣，明明是唐朝玄宗皇帝和杨贵妃的故事，却转化到汉武帝的头上，真是用心良苦。

数学解析：转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知∠ABC=60°，AC平分∠BAD，所以想到由C点作CE⊥AB于E，作CE⊥AD于F。由已知可求出CF，由CE=CF，可知CE的长，通过解Rt?BEC可求出BC的長。BE也可求，再通过解Rt?AEC由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。

例8：（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，DC=22，点P在边BC上运动（与B、C不重合），设PC=x，四边形ABPD的面积为y。

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若以D为圆心、12为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。

解：（1）过点D作DE⊥BC于E，

∵∠ABC=90°，∴DE=AB=2，

又∵DC=2，∴=2

∴BC=BE+EC=AD+EC=2+1=3

∴S四边形ABPD===4-x，

（2）当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；

当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，

DP2=DE2+EP2=22+|2-x|2=x2-4x+8

∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为12， ∴①当⊙P与⊙D外切时，

（x+）2=x2-4x+8，解得x=

此时四边形ABPD的面积y=4-=

②当⊙P与⊙D内切时，

（x+）2=x2-4x+8，解得x=

此时四边形ABPD的面积y=4-=

∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为或

此题有诗仙李白的《行路难》里的几句诗为证：“行路难，行路难，多歧路，今安在？长风破浪会有时，直挂云帆济苍海。”

数学解析：近年来，在各地中考试题中涉及到“分类讨论”的问题十分常见，有很多岔路，你要分析仔细。因为这类试题不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且考查了学生思维品质的深刻性。然而从近几年的中考阅卷中发现学生在解此类问题时，考虑不周全导致失分较多，究其原因主要是平时的教与学中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键时要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

我们生活在一个普遍联系的世界里，绝对孤立的事物是没有的。学习数学当然可以和其他学科互相借鉴，古诗词与数学学习的结合就是很好的例子，这样学习的效果是同学们印象深刻，记忆久远，并能灵活地运用。

参考文献：

[1]刘国栋.初中生必背古诗词80首[M].广东世界图书出版公司 .2013年5月.