谭湘文

摘 要：本文对“两点间直线段最短”提出四种证明方法。

关键词：直线段；最短；证明

证明“平面上两点间直线段最短”，有以下几种思路：

思路一：先证“三角形的任意两边之和大于第三边”。设有线段DE、EF、AC，将DE、EF拉直成直线段DF，DF长|DE|+|EF|。若|DE|+|EF|≤|AC|，将D点与A点重合，线段DF与AC重合，则F点在A、C之间或与C点重合，线段DE、EF、AC无法构成三角形，故“三角形的任意两边之和大于第三边”。

再证本题。A、C两点间有直线段AC。（1）对于经过A、C两点及直线外一点B的两段连折线，连接线段AB、BC、AC，构成三角形，则|AB|+|BC|>|AC|，所以连折线段长于直线段AC。（2）对于经过直线外已知多个点的连折线，连接A、C和多个点，将此多边形分割成多个三角形（对每个凹进去的角，连接两端点添加辅助线），多次运用“三角形的任意两边之和大于第三边”，证得接折线段长于直线段AC。（3）对于A、C间的曲线，可以分为无限多段连折线，当经过的点无限多时，此接折线就近似曲线了，同上，亦证得曲线段长于直线段AC。故两点间直线段AC最短。

思路二：先证勾股定理并导出两点间距离公式。设有4个同样的直角三角形，斜边长c、长直角边长b、短直角边长a，必能拼成一个以斜边长c为边长的正方形，中心恰好有个小正方形空隙（如果是4个等腰直角三角形，则没有空隙）。小正方形空隙边长是两条直角边之差，面积为（b-a）2，大正方形的面積c2=（b-a）2+4×ab÷2=a2+b2，即有勾股定理。可导出：在直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=。

思路四：假设A、C两点间存在曲线段（包括折线段）S最短，那么接连A、C点，以直线AC为对称轴，必有曲线段S2与S对称，长度相等。取曲线S上任两点E、F，连接此两点，对于其间的曲线段，以直线EF为对称轴，必有另一曲线段与其对称，长度相等，这样进行分割、组合，就会存在无数条距离最短的曲线，而这在平面几何中是不可能的，故直线段AC最短。

（作者单位：湖南省长沙市明德中学）