孟丽君

（兰州财经大学长青学院，甘肃 兰州 730000）

独立学院微积分教学改革的研究与实践
——基于M·克莱因的数学教育思想

孟丽君

（兰州财经大学长青学院，甘肃 兰州 730000）

本文对我国独立学院微积分教学现状和出现的问题进行了分析，根据M·克莱因的教学思想，得出了独立学院微积分教学改革的启示，通过融入数学史等方式，使学生们喜欢微积分，并渗透到自己所学专业领域，达到教学相长、学以致用的目的.

独立学院；M·克莱因；教学改革

独立学院是近10多年来中国高等教育办学体制改革创新的重要成果，为发展民办高等教育事业、促进高等教育大众化做出了积极贡献.随着独立学院的迅速发展，招生规模的扩大，一些关于独立学院的教学改革问题越来越受到学者们的关注.微积分这门课程几乎是所有专业学生的基础必修课，对学生们能否更好的学习专业课程发挥着重要作用.笔者针对独立学院的微积分教学改革进行了一些研究.

1 我国独立学院微积分教学现状和出现的问题分析

1.1 独立学院微积分教学现状

本人借鉴参考文献[1]的调查问卷成果，说明我国独立学院微积分教学现状.调查的对象是独立学院的学生（按照三本线招生的学生），人数是300人左右，主要是会计、金融和市场营销等经济管理类的专业，根据调查结果可以得出我国独立学院微积分的教学现状有：

1.独立学院一半以上的学生（约58.1%）认为自己初高中数学学的不好，与此相对应的是一半以上的学生（约86.67%）都重视微积分的学习.由调查结果可以看出，学生们还是非常重视微积分学习，但重视微积分学习的原因上述论文并没有提到，根据笔者近几年的教学经验以及和一些学生的交流，可以看出学生之所以重视微积分课程的学习，并不是因为对微积分课程的兴趣，而仅仅是为了应付学校的考试，或为了考研考试，一旦考试通过，这门课程通常也无人问津了，这与我们的教育初衷是严重违背的.

2.独立学院63%的学生认为学校定的微积分教材偏难，仅6%的学生认为学校所选用的微积分教材还可以.出现这样的原因是大多数独立学院用的教材和一些重点高校和二本高校用的教材一样，尤其和独立学校自身的母校的教材一致，但并没有考虑到学生的基础是不一样的.由于学校成立的时间并不是很长，从而专门针对独立学院的优秀教材并不是很多.而且学生们在教材中并没有看到微积分的知识与自己所学的专业有关系，认为自己所学的东西没用，从而失去了学习的动力.

3.独立学院的大多数学生对于教师上课的内容表示不太理解，尤其是微积分的一些概念不能很好的理解.导致这些现象的原因是中国高校教育这些年来连续扩招，高校教育由以前的精英式教育逐渐向大众化教育转移，而我国微积分的教学要求仍然以过去的教学要求为主要参考，而且一些独立院校的教师（尤其是母校的老师），上课的内容与母校上课内容几乎一致，从而使许多学生无法达到教学要求.

1.2 存在的问题分析

由以上独立学院微积分教学现状的分析，得出我国独立学院微积分教学出现的问题主要集中在以下三个方面：

1.独立学院的学生们虽然很重视微积分的学习，但是学习的目的多数是为了应付考研考试或者期末考试，学习缺乏主动性以及积极性.学生们在学习微积分过程中更加重视考试要求的一些计算能力以及定理的理论证明，而忽略了微积分一些思维方法以及用微积分解决实际问题的能力.

2.独立学院学生在学习微积分时所使用的教材不太适合独立学院学生的学习，虽然我国现有微积分教材很多，但这些微积分教材内容大同小异，更多强调的是严格理论分析以及突显出计算的重要性，而忽略了微积分学习在实际问题中的应用，更加没与学生所学专业联系起来，从而学生们虽然重视微积分的学习，但却缺少微积分学习的兴趣.上述问题不仅是独立学院学生面临的问题，而是我国高校普遍面临的问题.

3.独立学院的教师在教导学生的时候，往往采用传统的教学模式，而且许多独立学院因为经费问题，数学教师在给学生上课时采用的教学设施也是传统的黑板，使的本来就紧张的数学课时变得更加紧张.教师在上课时注重的是数学知识理论讲解以及一些计算题的讲解，而往往忽略微积分一些概念产生的原因，以及忽略微积分数学知识在现实中的作用，或者说学生无法将所学的微积分知识与自己专业联系起来，从而逐渐失去微积分学习的兴趣.

2 M·克莱因的思想简介

M·克莱因(Morris Kline,1908-1992)是美国著名的数学教育家、应用数学家、数学哲学家和数学史学家.他一生多数时间从事美国高校数学研究与教学工作，并且将数学知识用于实践，获得了多项发明专利（无线电工程方面）.M·克莱因的许多著作，对美国微积分教学改革产生了深远影响，其代表作有：《古今数学思想》、《数学：确定性的丧失》、《西方文化中的数学》、《数学：一种文化探索》等，其中《古今数学思想》是一部介绍从古代直至20世纪初数学发展的最全面和最权威的著作，被称作“现有的最好的一本数学史”.M·克莱因的数学教育思想对美国数学教育产生了深远的影响，研究他的教育思想以及教育理念将对我国数学教学、数学学习有借鉴意义，也为独立学院微积分教学提供了一些参考.

2.1 学习数学的最佳动力是学生的兴趣

M·克莱因认为兴趣对于学生学习数学有重要的作用，为了激发学生们学习数学的兴趣，每个老师都应该成为一个演员，他们在课堂上可以幽默一点，甚或是行为古怪一点，用一些玩笑或故事活跃课堂气氛，从而激发学生们学习数学的兴趣.M·克莱因将激发学生们学习数学的兴趣作为教学思想中的四个思想之一.M·克莱因指出老师们在讲授数学知识点时应将其放入历史背景中，数学史可以十分有效的提高学生们对数学的热情.通过学习数学史，使学生们知道数学仅是人类的一种文化活动，每个数学定理、数学概念背后，都有其产生的背景，有许多数学家们为了解决相关问题涉及到的一些数学故事，甚至是遇到的一些问题，这样学生们就会知道并不是仅仅自己在学习数学过程中有困难，数学家们在研究这些数学问题时也会遇到问题，也是经历了艰苦和漫长的过程，从而使学生们在学习数学中遇到挫折时，不会灰心丧气，而失去了学习数学的兴趣.

以微积分中极限的概念为例，这个概念非常的抽象，对于刚入学的、基础不太好的独立学院大一新生接受这个概念确实有些困难，作为一名教师，除了尽可能的讲解此概念，方便学生们对极限概念的理解，还要讲解一下关于极限概念的发展简史，使学生们不要畏惧这个概念，更不要因为一时理解不了这个概念而彻底放弃这门学科.极限概念的起源可以追溯到16世纪初期，随着生产技术的发展，大量现实问题出现，例如求瞬时速度、曲线的切线斜率、曲线的弧长以及大量物理问题等，有了极限概念，但极限概念并不是我们今天教材上讲的严格的极限定义，而仅仅在极限的描述上，因为常量思维的影响，无法准确定义出极限.到了17世纪，由于极限概念没有严格数学表达，微积分曾一度无法继续发展，许多学者对于牛顿的推断进行攻击，牛顿当时也确实无法解释推导过程的矛盾：“无穷小”位于分母时，有时运算的需要把无穷小量看做是0，而分母为0无意义这也是不争的事实，无穷小量到底是0还是非0是当时许多数学家讨论的焦点.直到17世纪，英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念，将极限的本质展示出来，从而促进了微积分的进一步发展.在讲微积分极限的概念时，穿插相关的历史背景，使学生们了解有些数学概念的产生是非常波折的，即使一些数学家也会遇到困难，仅极限的概念就经历了一个多世纪才在数学家的努力下有了严格意义的表达，到了19世纪，由数学家柯西比较完整的给出了极限的概念，维尔斯特拉斯则用数学的语言将其表述出来，也是现在微积分教材中通用的概念表述.通过对微积分极限概念简史的阐述，使学生们了解到极限的概念不是单纯的抽象符号的描述，其产生是有原因的，而且即使数学家在建立此概念时也出现了许多挫折，从而学生们不会因为一时理解不了就对微积分产生畏惧心理，一些小故事的加入也可以引起学生们学习微积分的兴趣，从而利于教学活动.

2.2 教师在教育过程中必须为所教课程提供目的和动机

M·克莱因指出无论以何种方法为激发学生们学习数学的兴趣，教师在教育过程中必须为所教课程提供目的和动机.在实践教学活动中，我们发现单纯的讲授一些数学定理、数学概念，学生们感觉数学枯燥乏味，觉得离自己的生活很远，而且微积分中有些数学概念理解起来是非常困难得，从而学生们慢慢失去了学习数学的热情，这点非常不利于学生们对数学的学习，更加不要说对数学的发展.

以无穷积分概念为例，如果单纯从无穷积分概念开始讲解无穷积分章节的内容，学生们往往觉得无穷积分内容抽象，不好理解，而且觉得根本没有用处.在教学过程中，不妨加入有名的芝诺悖论的例子，或者伯努力遇到的难题“巴塞尔难题”，在讲解这些历史难题时，可以使学生知道学习无穷积分是有原因的，它可以帮助数学家们解决一些难题，从而学生们就有了学习的目的和动机.

2.3 数学家创造数学时遇到的困难也是学生学习数学的困难

M·克莱因指出历史上数学家创造数学时遇到的困难，也是学生们学习数学时遇到的障碍，从而数学史是数学教学的指南.从微积分数学史可以看出，即使创立微积分的大数学家牛顿和莱布尼茨，他们也没用严格的数学逻辑以及语言创立微积分；即使上文提到的极限的概念，也经历了许多数学家的持续努力以及很长的时间才用严格的数学语言表述出来，于此类似的例子还有很多，本文不一一赘述.因此，M·克莱因并不主张教学过程中过分追求严格的逻辑性，他认为对数学问题的直觉性比其逻辑性要成功得多.

在M·克莱因的微积分教材中，他指出为了便于教学，很多情况下故意“错误地开始”，以使学生认识到正确的方法和证明只有在经历了摸索后才会产生.“通过错误地开始”，使学生们知道数学的定义以及定理是在数学家的敏锐直觉基础之上建立的，而不是凭空出现的，也不会总是正确的.以无穷级数敛散性概念为例，交错级数1-1+1-1+…求和在17—18世纪引起了许多争论，一种观点认为一种观点认为；还有一种观点认为从而.以上三种结论曾是17—18世纪的数学家们争论的作法，数学家们为了验证自己的结论，用的是不同的数学方法以及找的不同的例子，通过上述简史的介绍，引导学生们无穷级数分成敛散性的必要性，从而再给学生们介绍级数敛散性的概念时，学生们不会一时的错误而失去学习数学的信心，而且可以提高学生们探究数学问题的兴趣.

2.4 学生对数学学习的认知过程应与数学史的发展过程类似

M·克莱因指出教师的任务应该让孩子的思维经历祖先相应的经历，迅速的通过某些阶段但不跳过任何阶段，由此可以看出，数学史是我们的指南.在微积分的教学活动中，我们通常是按照教材编写的顺序给学生们讲授，展示给学生更多的是严密的数学推导以及数学逻辑，这无疑与我们的认知过程不同，认知事物的过程开始都是通过直观的方式建立起来的，而最初数学家们也是通过直观的思维思考问题，然后慢慢演绎出严密的数学逻辑和一些相关推导.

仍然以前文提到的微积分中极限的概念为例，克莱因指出数学史的顺序是学习微积分的好向导，微积分的开始不应含有ε-δ语言，这种严格的数学表达应该在更高级的微积分中再出现.克莱因主张函数极限的ε-δ定义应在学完一元和多元微积分后，即在微积分的最后学习中学习函数极限ε-δ定义，然后用ε-δ语言再重新定义连续性、可导性、定积分等概念.这种学习顺序正是微积分数学史的发展顺序，微积分是许多数学家们在敏锐的直觉基础上，再加上为解决一些现实问题发展出来的，直到19世纪，柯西才在极限思想的基础上整理出微积分.所以，不论是学生们学习微积分的过程还是教材编写的顺序，最好与数学史的顺序一致，这样学生们才可以一步步领略数学一些概念定理出现的原因，可以激发学生们的探知遇，激发学生们的兴趣，从而提高微积分的学习效率.

3 M·克莱因的思想对独立学院微积分教学改革的启示

由上文中我国独立学院微积分教学出现的问题主要有：独立学院的学生们对于微积分学习缺乏主动性以及积极性；独立学院学生在学习微积分时所使用的教材更多强调的是严格理论分析以及突显出计算的重要性，不适合独立学院的学生学习；独立学院的教师在教导学生采用传统的教学模式，不利于提高上课效率.结合M·克莱因的思想，本人对独立学院微积分教学改革提出如下建议：

3.1 讲授微积分教学内容时穿插一些数学史的内容.M·克莱因思想的内容之一是提高学生学习的兴趣，而在实践教学活动中独立学院微积分教学出现的问题之一正是学生们对微积分学习缺少兴趣，而提高数学学习兴趣最有效的方式就是数学史的介绍.通过数学史的介绍，使学生们了解到一些数学家们在解决数学问题时也会摔跤，从而使学生们对于学好微积分建立信心；通过数学史的介绍，使学生们知道微积分的产生是有其实际背景的，不是一门仅仅是从定义到定义或定理到定理的科学，从而认识到微积分确实是一门非常实用的科学，从而慢慢的喜欢接受这种思维，甚至可以用这种思维去解决自己专业的一些问题；通过数学史的介绍，使学生们的认知过程与数学史发展过程类似，有利于梳理微积分的一些理论内容，从而加深所学知识的印象.

3.2 在讲授微积分课程时找寻一本适合独立学院学生的教材.M·克莱因思想的最后内容为学生对数学学习的认知过程应与数学史的发展过程类似，这点最好通过使用的教材来满足，现有的微积分教材更多的微积分严格的定义以及一些定理的展示，通常都在其严密的推导下进行的，这点恰恰不符合M·克莱因思想关于认知过程的看法，最好找寻一本按照微积分史发展过程编写的教材，这样的教材有利于学生们的认知过程.

3.3 在讲授微积分课程时需要教师改变传统的教学观点、改变教学模式.（1）教学观点的改变，对于微积分教师传统的要求更多的是专业知识的熟悉，要清楚每个定义和定理的严格数学表述，以及定理的严格的逻辑证明等等.但对于独立学院学生而言，要求教师的更多的是让学生们感觉到他们多学的微积分知识确实是有实际用处的，可以帮助他们解决一些实际问题甚或是专业方面的问题，使学生们真正喜欢上这门课程，这就需要教师们改变传统教学观点，在课程中加入一些微积分发展史，加入一些数学家们为解决问题所遇到的困难，当然能再加入用微积分知识解决学生们相关的专业问题则更好；（2）教学模式的改变，对于微积分教师传统的教学模式基本上就是粉笔和黑板的运用，但如果在课堂上要展示一些数学史的内容，或是微积分的一些应用问题，课堂时间是非常紧张的，建议在课堂上加入一些多媒体的运用，例如展示一些数学史的内容，或微积分的一些现实应用，用多媒体给同学们展示一下，这样可以提高课堂效率，也使学生们对自己所学知识有了更深刻的认识.

4 结束语

随着独立学院的迅速发展，如何使独立学院学生学好微积分这门课程，M·克莱因为我们提供了新的思路，教师们可以参考M·克莱因的一些做法进行教学改革，改变传统的教学观点，按照微积分发展史的顺序组织教学，并融入一些数学史，展示微积分解决的一些现实问题，开阔学生们的视野，提高学生们对微积分的学习兴趣，使学生们真正喜欢微积分这门课程，然后慢慢渗透到自己所学专业领域，这才是学生学习微积分的最终目的.

〔1〕杜聪慧.经管类微积分教学与创新思路[J].大学教育，2015（10）：114–116．

〔2〕莫京兰.独立学院经管类专业微积分教学改革的探索[J].价值工程，2013（18）：229–240．

〔3〕高雪芬，汪晓勤.M·克莱因的HPM思想[J].数学教育学报，2012（4）：24–27．

〔4〕莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].张理京，张锦言，江泽涵译.上海：上海科学技术出版社，2003．

〔5〕莫里斯·克莱因.古今数学思想（第二册）[M].朱学贤，申又枨，叶其孝等译.上海：上海科学技术出版社，2003．

〔6〕莫里斯·克莱因.古今数学思想（第四册）[M].邓东皋，张恭庆译.上海：上海科学技术出版社，2006.

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