麻迎良

【摘 要】高中物理教学中，要给学生逐渐渗透等效思想、微分、逆向等多种思想。其中微分思想是一种非常重要的思想，理解匀变速直线运动的位移公式、瞬时速度、电场强度的叠加等都要用到微分思想，但在教学中掌握好度，不可过深过难。

【关键词】微分；思想；场强的求解；比值定义

微分是极限和积分的基础，是解决变化量的有力工具，是构成高等数学的主要主柱。在高中新课程中，数学科引入了《微积分初步》，所以在物理上，把以前避而不谈的微分和极限的思想，也引了进来，虽然不要求直接掌握，但为了学生发展的需要，采取了逐步渗透的方法，依据新课程标准中“体会数学在研究物理问题中的重要性”的精神，我认为，高中物理中对学生渗透微分思想有以下意义：一是拓展学生的数学应用空间，提高学生的数学应用能力。在高中数学中，常以物理问题作为实例进行分析，所以在物理学习中也更应该突出数学知识的应用。二是为了适应学生的可持续发展。因为进入大学后，高等数学的第一部分内容便是导数学和微积分，而在高中阶段有了微分和积分的初步知识后，对学习高等数学奠定了基础，降低了门槛。三是适应学生创新思维的培养和全面发展的需要。适应新课程标准中关于“关注学生终身发展，为科学观和价值观打下基础”培养目标。

微分和极限思想固然重要，但在教学中应掌握好“度”，不可过深，但也不能回避。下面结合我的理解和教学中的实践，谈谈高中物理教学中物理知识和微分思想的结合。

一、用比值定义的物理量的数学意义

在高中物理中有很多物理量是用比值定义法定义的，如：速度v=、加速度a=、功率p=、电流强度I=、感应电动势E=等，这些公式求出的值，严格地说都是在t或Δt内的平均值，当Δt趋近于零时，上面各式求出的才是瞬时值，因此，我在讲授平均速度与瞬时速度时，给学生指出，用实验的方法测平均速度非常容易，只要测出一段时间内的总位移即可，而瞬时速度是无法直接测量的，只能用极短时间内的平均速度近似代替瞬时速度，高速公路上的雷达测速就是这个原理。

二、有些公式的适用条件的理解

像场强公式E==一般只能用于匀强电场，但也可给学生渗透：当Δd趋近于零时，公式E==求出的就是某点的场强，所以此公式也适合非匀强电场，因此在非匀强电场中可用此公式定性地进行判断。再如磁感应强度公式：B=一般也只适用于匀强磁场，因为导体所在区域各点的磁感应强度只有相同时才能用此公式，但当导线非常短时（也即电流元），此公式仍成立，并且求出的是电流元所在处的磁感应强度。

三、用微分和对称思想求解非点电荷的场强

我们学过的特殊电场有点电荷的电场和匀强电场。而当一个电场是任意带电体形成的电场时，可将带电体分成很多等份，每一份就是一个点电荷，然后用点电荷的场强公式求出每一份的场强，再结合对称性进行合成。

例：如图所示，一个半径为r的圆环均匀分布着电荷Q，求圆环的中轴上与圆心O点相距L远的P点处的场强。

解：应题目中没有交待L>r，所以圆环不能当作点电荷，所以不能直接求P点的场强，只能将圆环分成n份，当n很大时，每一份就可看作点电荷。取上与O点对称的两份M、N。它们在P点的场强EM和EN大小相等，如图。

EM=EN=K=K，它们的合场强为

E1=2×EMcosθ

则P点的场强为E=E1=Kcosθ=K

用这个方法，同样可求解不是质点可均匀球体情况下的万有引力问题。

四、用微分和积分思想推导匀变速直线运动的位移公式，并拓展

匀速直线运动中，因为速度不变，所以位移x=vt，在v-t图上，x等于图象与两坐标轴所围矩形的面积，如图。

匀变速直线运动中，速度是变化的，v-t图如图，如图把时间t分成n等份，则Δt内的运動如果看成匀速直线运动，则每一段时间内的位移（小矩形的面积）近似等于小梯形的面积，如果n越大，Δt越趋近于零，两者越接近相等，再积分，就得出V-t图上的面积也等于位移x。

x=（v0+v）t×=v0t+at2。

拓展一：根据以上微分和积分思想，其它任意变速运动中，V-t的面积都等于这段时间内的位移。

拓展二：根据W=FX，W等于F-X图像的面积。

拓展三：根据q=It，q等于I-t图像的面积。

拓展四：根据I=Ft，I等于F-t图像的面积。

拓展五：根据Δv=aΔt，Δv等于a-t图像的面积。

例：（2008年宁波市高二物理竞赛）一物体初速V0=5m/s，作变加速运动，加速度与时间的关系为a=3t+2m/s2，则该物体的速度与时间的关系为：_________________。

解：作出a-t图如图，则t秒内的速度增量Δv为图像的面积：ΔV=（3t+2+2）×t×=t2+2t，则t秒末的速度为v=v0+Δv

v=t2+2t+5。

总之，高中阶段，物理教学中只能将微积分思想简单渗透，用微分和积分的思想解题，不要求直接用微积分解题，否则，只会加重学生负担。