李静茹

【摘要】 微分中值定理是连接函数及其导数的一座桥梁，是应用导数的局部性质去推断函数的整体性质的重要的、极为有效的工具，其核心的定理是拉格朗日中值定理.本文主要介绍证明拉格朗日中值定理时辅助函数的几种构造方法.

【关键词】 中值定理；辅助函数；构造

一、引 言

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，而教材中关于拉格朗日中值定理的证明并没有系统地归纳与总结.为加深学生对微分中值定理的理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文主要介绍拉格朗日中值定理的几种证明方法，这样一来便可以很清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意义所在.

二、拉格朗日中值定理的证明

定理 （Lagrange中值定理）若函数 f（x）满足下列条件：

（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

f′（ξ）= f（b）-f（a） b-a .

证明拉格朗日中值定理时，通常要引进辅助函数.可是，如何巧妙地构造这些辅助函数，常常让人感到困惑.下面通过五种途径来构造辅助函数，并着重强调构造的思维过程.

（一）推论法

定理 （Rolle中值定理）若函数f（x）满足条件：

（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），

则在区间（a，b）内必有一点ξ，使得f′（ξ）=0.

现在设f（x）与g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，再加上什么条件，函数f（x）-g（x）就能满足罗尔定理的条件呢？

由罗尔定理的条件知，还需添加

f（a）-g（a）=f（b）-g（b），

即f（b）-f（a）=g（b）-g（a）.

这样由罗尔定理知，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）-g′（ξ）=0.