甘超一

1公元纪年法

现行的公元纪年法是从耶稣出生之年算起，这一年以前的年份叫公元前某年，以后的年份叫公元某年.但应该注意，没有公元0年这一年.我国是从1949年中华人民共和国成立之后采用公元纪年的，比如今年是公元2017年（可简记为2017年）.

因为没有公元0年，所以本文把公元前1，2，3，…，n，…年分别记作公元0，-1，-2，…，1-n，…年.因而，在下文中的公元n（n∈Z）年中都有意义.

2干支纪年法

中国自古便有十天干（即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸）与十二地支（即子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）的说法.天干地支纪年法（简称干支纪年法），是把天干中排奇数号的（即甲，丙，戊，庚，壬）与地支中排奇数号的（即子，寅，辰，午，申，戌）任意搭配，但天干在前地支在后（比如甲子，甲寅等等）；或把天干中排偶数号的（即乙，丁，己，辛，癸）与地支中排偶数号的（即丑，卯，巳，未，酉，亥）任意搭配，也是天干在前地支在后.

由分步乘法计数原理可知，奇数号的搭配是5·6种情形，偶数号的搭配也是5·6种情形.所以在干支纪年法中，共有5·6·2即60种情形.这60种情形的前后顺序就是干支纪年法的一个周期（也叫一甲子），即下面6行10列的表1：

表1中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”就表示干支甲子年（可简记为甲子年）、乙丑年、…、癸亥年，数字1，2，…，60分别表示相应干支纪年的代号.因为干支纪年法是呈周期变化的，所以癸亥年的后一年是甲子年，甲子年的前一年是癸亥年.

3记号

在本文中，把自然数n被10除所得的余数即n的个位数记作（n）10，可得（n）10=0，1，2，…，或9；把自然数n被12除所得的余数记作（n）12，可得（n）12=0，1，2，…，或12.

对于已知的整数m，可得存在唯一的整数k及自然数r（r≤10），使得m=10k+r，在本文中把这里的r记为（m）10；同理还可得（m）12的含义.

4把公元纪年转换成干支纪年

因为干支纪年甲子年、乙丑年、…、癸亥年中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”都是汉字，所以欲把它们与公元纪年之间进行转换，必须先把“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”这些汉字转换成相应的数字.我们规定十天干与十二地支对应的数字分别是下面的表2、表3：

这样，甲子年、乙丑年、…、癸亥年就可分别用有序数对（4，4），（5，5）， …，（3，3）来表示，得到下面的表4（可以查得公元1804年是甲子年即干支1年，由60年一甲子可得公元4年也是干支甲子年.再得公元5年是干支乙丑年等等）：

由表4可发现下面的结论：

公元n（n=1，2，…，60）年是干支GZ年，其中G是n的個位数在表2中对应的天干，Z是n被12除所得的余数在表3中对应的地支.

再由一甲子是60年及第3节中约定的记号，可得把公元纪年转换成干支纪年的算法是：

定理1公元n（n∈Z）年是干支GZ年，其中G是（n）10在表2中对应的天干，Z是（n）12在表3中对应的地支.

例1把公元2000，2050，3000年及公元前1001年分别转换成干支纪年.

解当n=2000时，可得（n）10=0，（n）12=8.0在表2中对应的天干是庚，8在表3中对应的地支是辰，所以公元2000年是庚辰年.

当n=2050时，可得（n）10=0，（n）12=10.进而可得公元2050年是庚午年.

当n=3000时，可得（n）10=0，（n）12=0.进而可得公元3000年是庚申年.

公元前1001年即公元-1000年，当n=-1000时，可得（n）10=0，（n）12=8.进而可得公元前1001年是庚辰年.

由一甲子是60年，可得公元前1001年即公元-1000年与公元20年有相同的干支纪年. 当n=20时，可得（n）10=0，（n）12=8.进而可得公元前1001年是庚辰年.

5把干支纪年转换成公元纪年

下面由干支GZ年（其中天干G在表2中对应的数字是g（g=0，1，2，…，9），地支Z在表3中对应的数字是z（z=0，1，2，…，11），请注意g与z同是奇数或同是偶数）来求出其对应的公元n（n∈Z）年，即已知g，z求n.

由一甲子是60年可知，若求出了一个n的值是n0，则所有n的值为60k+n0（k∈Z），所以问题的关键是求出n的某一个值，使得公元n年是干支GZ年.

由表4的第7列可得，当g=0，z=0，2，4，6，8，10时，n的一个值可以分别是60，50，40，30，20，10，进而可得此时n的一个值可以是6g-5z；

由表4的第8列可得，当g=1，z=1，3，5，7，9，11时，n的一个值可以分别是61，51，41，31，21，11，进而可得n的一个值可以是6g-5z；

由表4的第9列可得，当g=2，z=0，2，4，6，8，10时， n的一个值可以分别是72，62，52，42，32，22，进而可得n的一个值可以是6g-5z；

由表4的第10列可得，当g=3，z=1，3，5，7，9，11时， n的一个值可以分别是73，63，53，43，33，23，进而可得n的一个值可以是6g-5z；

由表4的第1列可得，当g=4，z=0，2，4，6，8，10时， n的一个值可以分别是84，74，64，54，44，34，进而可得n的一个值可以是6g-5z；

……

由表4的第6列可得，当g=9，z=1，3，5，7，9，11时， n的一个值可以分别是109，99，89，79，69，59，进而可得n的一个值可以是6g-5z.

所以由已知的g与z，可得n的一个值可以是6g-5z.

进而可得把公元纪年转换成干支纪年的算法是：

定理2干支GZ年（其中天干G在表2中对应的数字是g（g=0，1，2，…，9），地支Z在表3中对应的数字z（z=0，1，2，…，11）是公元60k+6g-5z（k∈Z）年.

例2在19世纪末到20世纪初的中国历史上发生了甲午战争、戊戌变法、庚子赔款、辛丑条约、 癸卯学制、辛亥革命这些历史事件，请问它们分别发生于公元哪一年？

解用定理2来求解.

（1）由表2及表3可得g=4，z=10，再得甲午年是公元60k-26（k∈Z）年，进而可得甲午战争发生在1894年.

（2）由表2及表3可得g=8，z=2，再得戊戌年是公元60k+38（k∈Z）年，进而可得戊戌变法发生在1898年.

（3）由表2及表3可得g=0，z=4，再得庚子年是公元60k-20（k∈Z）年，进而可得庚子赔款发生在1900年.

（4）由表2及表3可得g=1，z=5，再得辛丑年是公元60k-19（k∈Z）年，进而可得辛丑条约发生在1901年.

（5）由表2及表3可得g=3，z=7，再得癸卯年是公元60k-17（k∈Z）年，进而可得癸卯学制发生在1903年.

（6）由表2及表3可得g=1，z=3，再得辛亥年是公元60k-9（k∈Z）年，进而可得辛辛亥革命发生在1911年.

注ⅰ）把天干、地支分别按表2、表3转换成相应的数字，会使公元纪年与干支纪年之间的转换（即上述定理1、定理2）比较简洁.

起初，笔者是按照下面的表5、表6来转换的：

ⅱ）本文研究的方法是“发现规律”和“数学建模”.用同样的方法还可研究公历日期与农历日期、公历日期与星期几、农历日期与星期几之间的转换.