谭玉荣 陈 峰 胡映月

(北京交通大学土木建筑学院,100044,北京//第一作者,硕士研究生)

城市轨道交通网络换乘性能研究

谭玉荣 陈 峰 胡映月

(北京交通大学土木建筑学院,100044,北京//第一作者,硕士研究生)

针对网络换乘性能,提出了计算城市轨道交通网络换乘次数的矩阵算法。利用图论建立网络数学模型,利用可达矩阵计算了网络拓扑结构的平均换乘次数。在此基础上考虑客流量的影响,通过挖掘地铁AFC(自动售检票)数据,计算按客流量加权的平均按乘次数。定义网络换乘效率为实际按乘次数与理论换乘次数的比值，并以北京地铁为例进行计算。计算结果验证了算法的有效性。

城市轨道交通; 网络换乘性能; 数据挖掘; 自动检售票(AFC)

Author′s address School of Civil Engineering,Beijing Jiaotong University,100044,Beijing,China

对轨道交通乘客出行心理的研究发现,乘客在选择出行方案时除了考虑出行时间，还会考虑换乘次数。可见，线网的平均换乘次数是体现线网整体性能的指标之一。此外,轨道交通网络密度、乘客一次出行时间等也是描述线网性能的指标。目前，网络平均换乘次数采用P空间算法进行计算,仅针对轨道交通网络的理论计算,并没有考虑乘客对路径的选择行为,因而不能准确地反映实际乘客的换乘次数。本文通过建立城市轨道交通网络数学模型,分析换乘矩阵算法,并结合地铁AFC(自动售检票)历史刷卡数据,分别计算了城市轨道交通网络不考虑乘客选择的理论换乘次数和考虑乘客选择的换乘次数,并定义了两者的比值为网络换乘效率；而客流量对乘客路径的选择有较大影响,故本文考虑乘客选择时选用了客流量指标。最后，本文以北京市地铁网络为例,验证了该方法的有效性。

1 线网模型

城市轨道交通网络平均出行换乘次数是指乘客一次出行中从网络中任何一个起始站到终点站的换乘次数。对于线路确定的城市轨道交通网络,由于所有线路都是双向连通的,线路与线路之间通过一个或多个节点相连,因此乘客可通过一次或多次换乘到达另一条城市轨道交通线路。在不考虑同一线路上下行客流差异的条件下,城市轨道交通网络可抽象为由站点和线路组成的无向连通图。采用图论理论对城市轨道交通网络进行抽象建模,则网络图G=(V,E),其中V与E分别是网络图G中节点和边的集合[1-2]。图1为城市轨道交通线路示意图。

图1 城市轨道交通线网示意图

如图1所示,城市轨道交通网络是由多个站点及多条线路组成的集合,城市轨道交通站点即网络图的节点,连接两个站点的线路即为网络图的边。

计算全网乘客的平均出行换乘次数,需要计算每一个OD(起讫)对间的换乘次数。而由同一条线路上的不同站点换乘到另一条线路不同站点时的换乘特性相似。同一条线路,即使是由普通中间站与端头站分别出发，其换乘情况也相似[3]。由于无论站点位于线路的那个位置,都要经过换乘站进行换乘,因此图1的城市轨道交通网络图可以简化为图2所示的网络图。

图2 城市轨道交通网络简化模型一

图2去掉了普通中间站,仅保留了端头站及换乘站。通过计算线路始末站及换乘站的连通程度,即可得到任意站点间的换乘关系。定义城市轨道交通网络中站点的集合为Li={li}。其中，li为线路Li的站点。则图2中城市轨道交通线网的节点集合分别为L1={a1,d,g,p,a2}，L2={b1,e,h,q,b2}，L3={c1,f,g,h,k,c2}，L4={d,e,k,q,p,f,d}，且该网络图的节点集合V=L1∪L2∪L3∪L4。

进一步分析发现,换乘其实是乘客通过换乘站从一条线路转到另一条线路上,对换乘次数的计算实际上是对换乘线路条数的统计。因此，可将图2的网络图进一步简化，得到第2种简化模型(见图3)。图3直观地描述了线路之间的连接关系。由图3可见，网络中没有节点,只有边的集合,故G=E=L1∪L2∪L3∪L4。此时，直接分析线路之间的连通性即可得出全网任意两条线路之间的换乘特性。

图3 城市轨道交通网络简化模型二

2 初始换乘矩阵

为了计算换乘次数,需要将网络模型转化为数学模型,建立网络图的换乘矩阵。本文采用图论理论,建立邻接矩阵表达城市轨道交通网络模型,用来描述网络图中各线路之间的两两对应关系。邻接矩阵A的元素ai，j可定义为[4]

式中：

si，sj——为网络图中的任意两个节点。

依据上述原则,可建立图3中简化模型的邻接矩阵A2。由于两条线路相连即代表换乘一次,因此A2也是该网络结构的一次换乘矩阵T1,表示经过一次换乘可从一条线路转到另一条线路。即

L1

L2

L3

L4L1L2L3L4

邻接矩阵A2可以直观地描述任意两条线路之间的连通性。行向量ai为线路Li的换乘向量,代表了线路Li与其他线路的连通情况。例如，a1=(0011)表示线路L1与线路L3、L4相连,可通过一次换乘到达；L1与线路L2不直接连通,需要二次或多次换乘才能到达。

3 平均换乘次数计算

全网的平均换乘次数描述了网络各线路之间的可达程度。本文引入可达矩阵的概念,采用布尔运算法则,由初始邻接矩阵A依次计算网络经过n次换乘后的邻接矩阵A(n+1)。

3.1 建立可达矩阵

可达矩阵R描述了全网各条线路之间经过一次或多次换乘后的可达程度。它具有一个重要特性,即推移律特性[5]。如乘客可由站点Si经过长度为1的通路直接到达Sk,且由Sk再经过长度为1的通路可直接到达Sj时,那么Si通过长度为2的通路必然可到达Sj。可达矩阵可由邻接矩阵及单位矩阵计算求得。本文将利用可达矩阵的推移律特性,根据初始邻接矩阵计算城市轨道交通网络的可达矩阵。

为了便于分析,以图3的简化模型来计算1次换乘邻接矩阵A2的可达矩阵。令A(r)=(A+I)r为经过r-1次换乘后的邻接矩阵,其中I为单位矩阵,则

A(1)表示各站点不需换乘的可达程度。多次换乘后的邻接矩阵为A(2)=(A+I)2,A(3)=(A+I)3，…，A(r)=(A+I)r。矩阵计算遵循布尔代数运算法则:①布尔和为0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1;②布尔积为0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1。经计算可得:

A(1)≠A(2)≠…≠A(r-1)=A(r),r≤N-1

其中,N为距阵A(r)的维度。如果计算得到A(r-1)=A(r),则A(r-1)=R为该网络的可达矩阵,表示网络任意两个站点之间经过r-1次的换乘均可到达。对任意一个网络,换乘次数不大于N-1。

3.2 换乘矩阵算法

换乘矩阵T(n)=A(n+1)-A(n)为n次换乘矩阵,Ti，j，(n)为换乘矩阵T(n)中的元素,Ti，j，(n)=1代表相应位置的两个站点需要经过n次换乘才能到达。

根据换乘矩阵的定义,城市轨道交通网络初始邻接矩阵即0次换乘矩阵,T(0)=A；相连的线路之间元素值为“1”,表示不经过换乘即可直达。由于A中同线路之间的元素值仍为“0”,因此引入单位矩阵I,A(1)=A+I,得到了完整的直达矩阵。若该直达矩阵中的所有元素为“1”,则说明网络中各线路之间不需要换乘均可直达；若不是所有元素都“1”,则说明某些线路之间需要换乘才能到达。采用布尔代数运算法则计算A(m)=(A+I)m,得到临时矩阵TMP,(m)=A(m)-A(m-1)。TMP,(m)中TMP，i,j,(m)=1表示i、j线路经过m-1次换乘可以到达。将m-1次换乘矩阵T(m-1)中相应位置的元素值设为“1”,其他元素值设为“0”;当临时矩阵TMP，i,j,(m)=0时,A(m)=A(m-1)=R。这说明所有线路经过m-2次换乘全部可达。

3.3 平均换乘次数

通过计算可得到城市轨道交通网络的换乘矩阵序列(T(1),T(2),…,T(r-1))及表现网络连通性的可达矩阵R,则全网的平均换乘次数可利用式(1)求解

(1)

平均换乘次数是反映网络性能的指标之一,也是乘客选择出行路径的考虑因素之一。上述算法得到的平均换乘次数并不能完整地描述乘客出行行为。换乘次数少的OD对之间的客流量可能相对较大，对全网换乘性能的影响也较大。因此，需要在式(1)的基础上输入客流量[6]以得到乘客出行实际的平均换乘次数:

(2)

式中：

Pi，j——i、j站点之间的客流量或线路i、j之间的换乘客流量。

历史刷卡数据是已完成的出行情况的记录,包含了乘客对路径的选择,因此TAI更能反映乘客出行换乘的实际情况。

地铁AFC刷卡数据为城市轨道交通网络性能分析提供了有力的数据支持,不仅详细记录了乘客出行行为及客流的时空分布特征等信息,还直接记录了乘客刷卡进出站的线路号。通过对地铁AFC数据的收集和挖掘,可得到各条线路之间的换乘客流量,结合网络模型与线路客流OD,利用式(2)即可算出实际出行中城市轨道交通网络的平均换乘次数TAI。

4 线网换乘性能评价

线网换乘性能评价即评价线网结构及其规模是否满足乘客出行需求。需对比分析纯理论换乘次数与实际客流的平均换乘次数。本文定义了换乘效率来评价线网性能。

4.1 换乘效率

由于换乘次数是影响乘客出行路径决策的因素之一,因此平均换乘次数可以用来反映网络连通性能。定义换乘效率η为未考虑客流量影响的换乘次数与考虑了客流量影响的平均换乘次数的比值:

(3)

η可以客观反映网络换乘性能,影响因素单一,计算简便,可以避免对多种因素综合考虑的问题。另外,由于TAI、TA计算式中不同换乘次数的换乘矩阵相同,因此比值形式可保证其变量的单一性,有助于从宏观层面对整个路网的换乘情况进行分析。该比值越接近1,表示线网的换乘性能利用得越充分。如果该比值大于1,一方面可能是由于线网密度增加,导致乘客出行可选择的路径更多,故乘客可通过多次换乘以减少出行时间和路径长度;另一方面可能是由于换乘站设置不合理,导致乘客在实际出行过程中更倾向于选择其他换乘站进行多次换乘，以减少总出行成本或选择更舒适的出行路径。

4.2 实例分析

在以往的研究中,平均换乘次数越大说明网络的可达性越差,整个城市轨道交通网络的性能越差；但在考虑客流影响的条件下,由于乘客对路径的选择具有很多不确定因素,因此可能出现平均换乘次数增大,而网络性能更好。

本文通过简化模型二,分别对北京市2011年、2013年及2014年的地铁网络平均换乘次数进行了测算。2011年9月，房山线与网络其他线路均不相连,因此网络建模计入除房山线外的12条线路。至2013年9月,北京地铁网络在2011年的基础上增加了北京地铁8号线二期、9号线、15号线一期东段、14号线西段、10号线二期，以及房山线未开通的大葆台至郭公庄段，共16条运营线路。至2014年10月,北京地铁网络新增了8号线二期南段其余段及8号线与昌平线的联络段。

经计算，2011年、2013年及2014年北京地铁网络全网换乘次数的分布如图4所示。可以看出，在乘客的一次出行过程中,1次、2次换乘的比例较高,而3次、4次换乘的比例较少。如果网络平均换乘次数过高,则说明该网络的连通性存在问题。这可能是换乘站的设置问题,也可能是新线的接入问题,均需要及时改进网络结构。图4说明相应年份的地铁网络结构较为合理。

图4 北京地铁网络换乘次数分布图

提取AFC刷卡数据,经处理可得到取卡序列号、进站线路号及出站线路号等信息。根据式(1)、式(2)及式(3)得到2013年及2014年北京地铁网络的平均换乘次数和换乘效率,如表1所示。

表1 线路平均换乘次数

由表1可见,相同网络结构条件下,考虑了客流量影响平均换乘次数比未考虑客流量影响的少。这说明乘客在实际出行过程中更倾向于选择换乘次数少的路径。这与乘客出行心理调查结果一致，同时也说明客流量对网络换乘次数的影响较为明显。因而仅考虑拓扑网络换乘次数的算法并不准确,本文的算法更能反映城市轨道交通网络的实际换乘性能。

由表1可知,在不同网络条件下,网络的平均换乘次数不具有可比性。相对于2014年10月来说,2013年9月的北京地铁网络规模改变不十分明显。而2011年9月北京地铁网络规模较小,还未真正达到网络化运营,甚至有与其他线路不连通的线路存在。当时的乘客出行路径的可选择性较少,导致平均换乘次数较低。考虑客流量影响算出的2011年换乘次数比未考虑客流量影响的平均换乘次数低。这说明本文提出的考虑客流量影响的换乘次数算法对考察地铁网络实际换乘性能具有现实意义。

5 结语

城市轨道交通网络结构决定了网络连通性指标,网络的可达性也可以反过来用于评价网络结构的合理性,平均换乘次数作为乘客出行路径选择的因素之一,可用于计算网络换乘效率,用于综合反映路网的性能。本文通过网络图方法建立网络的邻接矩阵,考虑实际客流量的影响,利用邻接矩阵与可达矩阵的性质计算了网络平均换乘次数,并以北京市2011年、2013年、2014年的地铁网络为例计算了平均换乘次数和网络换乘效率,计算结果表明客流加权的换乘次数算法比纯物理网络拓扑结构的理论换乘次数算法更切合实际情况。

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Research on the Transfer Performance in Urban Rail Transit Network

TAN Yurong,CHEN Feng,HU Yingyue

In order to investigate in the network transfer performance,a matrix algorithm is proposed to calculate the average transfer times of urban rail transit network. A mathematical model about transit network is established based on graph theory, and the average transfer times of topology network is calculated by using reachable matrix. On this basis, with a consideration of passenger flow, and by way of AFC data mining, the practical average transfer times on the subway are calculate. The transfer performance is defined as the ratio of practical average transfer times to theoretical transfer times. Taking Beijing subway as an example, the effectiveness of this algorithm is verified.

urban rail transit; network transfer performance; data mining; automatic face collection (AFC)

U 231

10.16037/j.1007-869x.2017.03.025

2015-04-28)