徐珍玉

摘要：路线最短问题是近几年来中考试题中的热点，它涉及的所有问题都是从一个基本定理，即“两点之间，线段最短”引出来的。常用的解决方法是借助轴对称知识转化，利用“两点之间，线段最短”解决有关最短路径问题。学生应学会根据具体的题目背景，主动构建相关的图形来辅助思考，从而突破难点，解决问题。

关键词：建构；基本模型；路线最短

一、路线最短问题的本质认识

【模型呈现】路线最短问题是数学中一类较具挑战性的问题，下面是一则关于此类问题的数学故事：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军向他请教了一个问题，如图1所示，从点A出发，到笔直的河岸m去饮水，然后再去B地，怎样走路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线m的对称点A′，连结A′B，交直线m于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B，此时所走的路线最短。

【分析】作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B后得到点P，此时PA′+PB的值小于异于此点P的任何一个点到点A与点B的距离之和，因为当A′、P、B三点共线时，PA+PB的最小值即为A′B的长度。通过基本信息的阅读、基本图形的识别，学生了解了以一边为对称轴进行轴对称变换的基本方法，利用轴对称变换可以达到“化折为直”的目的，即将折线问题转化成两点之间线段最短问题。

二、路线最短问题的探索应用

1.与圆相关的路线最短问题

如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。

【分析】学生在掌握基本图形特征的前提下，可以判断本图中线段OB所在直线即为上述模型中的直线m，将上述方法迁移到本题中，问题就迎刃而解了。由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以，AO的延长线与⊙O的交点即为点A关于OB的对称点。轴对称变换在圆中得到了应用，进一步培养了学生的迁移能力。在教学中，教师要以发展学生能力为目标，拓宽学生视野，提高学生分析和解决问题的能力。

2.与正方形相关的路线最短问题

如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是对角线AC上的动点，则PB+PE的最小值是_ 。

【分析】如图4，连接DE，交AC于点P，因为四边形ABCD是正方形，AC垂直平分BD，所以PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=。这种解法充分利用了正方形的轴对称性。

3.与角相关的路线最短问题

如图5，若∠AOB=45°，其内部有一点P，OP=10，边OA、OB上分别有Q、R两点，那么P、Q、R三点所组成的三角形周长的最小值是多少？

【分析】本题中出现了两个动点Q、R，机械地模仿前面的方法已经无法解决这一问题。既然有两个动点，我们就考虑两次运用轴对称变换，如图6，作出点P关于射线OA的对称点M，关于射线OB的对称点N。任意取OA上一点Q，OB上一点R，由轴对称的性质可知：QM=QP，RN=RP，所以△PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN。由两点之間线段最短可知，只有当Q、R在线段MN上时，上面的算式才能取得最小值。也就是说只要连接MN，它与OA、OB的交点Q、R即为所求的两点。这时△PQR的周长即为线段MN的长。容易知道OM=ON=OP=10，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON，所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90°，所以△MON是等腰直角三角形，直角边等于10，易求得斜边MN= ，也就是说，△PQR的周长的最小值=MN= 。这样的训练拓宽了学生的视野，潜移默化中培养了学生应用数学知识解决问题的好习惯。

皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构过程。新课标强调，要培养学生的自主探究能力，使学生能综合运用所学的知识和技能解决问题。这就要求我们教师在遵循学生的认知发展规律的前提下进行基础教学，让学生牢固掌握基础知识，形成基础技能，了解数学的基本思想，体会数学的基本活动经验，从而使学生学会探索新颖独特的解决问题的方法，发展思维，开发潜能。

4.与平行四边形相关的路线最短问题

如图7，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥DD′、EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？

【分析】作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′。理由：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最短，即当桥建于如图8所示位置时，路程最短。此题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答。

【变式】如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你确定点E、F的位置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_ 。

【分析】四边形CGEF中有两个定点C、G，两个动点E、F，两个定值CG=5，EF=1，周长的最小值就转化成了EG+CF的最小值。作点G关于AB的对称点G′，连接EG′，EG+CF=EG′+CF。由于EF=1，G′、E、F、C就不可能共线，学生的解题思路到此就很有可能出现暂时的“短路”现象。此时，教师要做引导者，开拓学生思维，鼓励学生打破惯性思维，重新审视、剖析问题，在探究中另辟蹊径。G′、E、F、C不可能实现真正意义的共线，但我们可以将线段G′E和FC的平行关系看成“四点共线”，这一点拨能调动学生思考问题的积极性，同时也能激发思维的创造性和灵活性。由两条线段的平行关系推出△AEG∽△BFC，相似比为1：2，即点F为AB的中点，点E为AF的中点，最终求得周长的最小值。

5.与圆柱体相关的路线最短问题

如图11，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为_ 。

【分析】学生一看到这个圆柱体问题，就很容易产生定向思维：将圆柱体展开，找到展开图中的对应的点C，构造Rt△AQC，利用勾股定理AC2=CQ2+AQ2，通过已知的条件可求出CQ=9cm，AQ=4cm，进而求出AC的值。这种解题思路是错误的，因为蜂蜜在杯内壁，而蚂蚁在杯外壁，蚂蚁首先要从外面爬向里面。将圆柱体展开（如图12），找到点C的位置，根据上述问题的基本模型解法，找到A的对应点A′，此时QA′2+QC2=CA′2，利用两点之间线段最短确定点P的位置，在Rt△A′QC中，求出CA′=15cm。

以上几个例子都是以基本图形为载体，融几何基本方法、基本技能、基本思想（转化思想）为一体的典型实例，多题归一。无论是在内容的呈现方式上，还是在解题思路的探寻过程中，这几道题目都能提高学生的思维层次。

最短路线问题的背景极其广泛，可以是角、三角形、菱形、正方形、圆、坐标轴等。对于解决这类题而言，无论题目如何变化，万变不离其宗，都是找出点关于线的对称点，从而实现将折线转化为直线的问题，考查的核心知识点包括“两点之间，线段最短”“点关于线对称”“线段的平移”等。在今后的教学中，笔者将继续本着“全面提升学生数学能力”的目标，鼓励学生积极参与到数学活动中，感悟基本图形、基本方法的实质，领略问题形式的多变和问题本质的不变，做到以不变应万变！