四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 李远翠

将几何直观融入高中代数学习

四川师范大学数学与软件科学学院(610068) 李远翠

几何直观,顾名思义有两层含义,一是几何,即几何图形图像等,二是“直观”,借助几何图形的直观性来思考问题.具体而言,几何直观是指借助于见到的(或想象出的)几何图形的形象关系,对数学对象的空间形式和数量关系进行直接感知和整体把握的能力[1].2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》中明确提出“高中阶段的数学教学应加强几何直观教学,重视几何图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观来思考”.[3]

其实,几何直观不仅在图形与几何学习中发挥重要作用,同时也广泛运用于代数问题的解决.高中数学中,圆锥曲线的概念理解,函数的性质探索,线性规划问题与函数综合问题等的处理,都可以借助几何直观来思考.将几何直观融入代数学习,将抽象的代数符号与形象的图形语言相联系,为直观地理解概念、探索性质定理、简化并解决问题提供了新的视角.那么,将几何直观融入代数学习究竟“妙”在哪儿?

一、直观理解记忆数学公式定理

高中数学中,借助几何直观能将抽象的数学概念用图形语言生动形象的刻画出来,有助于概念的理解;借助几何直观将错综复杂的性质定理、关系网络用图形符号直观简洁的描绘出来,为公式定律的理解记忆提供了新的思路.

例如,导数的学习中,几乎所有学生都能掌握函数求导,却极少学生能理解导数的意义.借助函数图像的直观性,从特殊函数图像上任意两点所在直线斜率入手,将两点一步步靠近,用极限的思想过渡到过某一点的切线斜率.这样一个具体的函数图像,直观地运动过程能帮助学生理解导数几何意义,也为导数性质的探索奠定了理论基础.又如,二次函数的性质、一元二次方程的根、一元二次不等式的求解,由于涉及系数a、b、c的分类讨论,给学生的记忆与理解带来了许多障碍.其实,只需借助几何直观理解“三个二次”的关系,结合二次函数的图像,能够轻松的“看出”问题的答案.

二、探索发现数学性质定理

著名数学家徐利治曾说过“由类比、联想引发的直观与猜想,是发现新成果的重要源泉”.在数学学习中,利用直观的图形图像生动形象的反映、描绘与刻画研究对象的数量关系,通过观察“猜想”数学结论,也是探索性质定理的重要途径.

例如,函数的单调性学习,我们从一些特殊的函数图像入手,通过观察图像的“上升”与“下降”,体会自变量与因变量变化规律,能够形象直观地理解函数的单调性及其几何意义.又如,等差数列的求和公式的探究,教材从具体情景入手,让学生计算泰妃陵中三角形图案中宝石的数量.由于三角形图案及其面积公式推导,学生可能会产生将三角形倒过来拼接的想法.通过观察他们能够发现拼成图形中每一排的宝石数量相同,而等差数列也满足与首末两项等距离的两项之和相等,类比这种倒过来拼接的想法,产生利用倒序相加求等差数列求和也就顺理成章了.

三、简化处理复杂代数问题

作图是建立直观与想象的思维支柱,根据问题情境或符号语言的描述,想象并作出图形.借助图形图示将抽象的数量关系形象直观地表示出来,简化并解决问题问题,是解决复杂代数问题的新视角[3].下面,我们一起来看看几何直观在具体代数问题中的运用.

类型一:利用图示直观表示集合问题

集合是现代数学的基本语言,能直观简洁的表达数学对象间的相互关联,Venn图、数轴更是刻画集合关系最直观的语言.在解决某些复杂的集合并与交的问题时,图解法很好地显示出了它的优越性.

例1: 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至少参加一个小组且至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,请问同时参加数学和化学小组的有多少人?

解: 如图1所示,设同时参加数学与化学小组的有 x人,则只参加数学、物理、化学小组的分别有20-x、5、9-x人.又∵该班共有学生36人,所以26+5+9-x+4=36.∴同时参加数学和化学小组的有8人.

图1

【点评】这是集合中常见的元素个数问题,可以利用Card(A∪B∪C)的计算公式从纯代数角度解决.然而,这样解决办法学生只需要记住公式,解题过程就是公式的直接套用与计算,很难体现集合运算的本质.借助Venn图直观地表示几何间的关系,通过具体的图像能让学生真正体会三个小组成员间的相互关联.

类型二:构造图形直观巧解不等式问题

不等式,是高中数学的重要内容,涉及基本不等式、一元二次不等式、线性规划问题等.几何直观被广泛运用于不等式问题,不仅体现在借助图示直观地处理线性规划问题,依据函数图像解一元二次不等式,还包括构造图形证明特殊不等式、借助图像解含参不等式等.

证明: 如图2,在平面上任取一点O,构造线段OA、OB、OC,使得OA=a, OB=b,OC=c,且∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,连接AB、AC、BC则构成△ABC.

图2

【点评】本题通过构造三角形,利用余弦定理巧妙地将含根号的复杂代数式转换为三角形的三边,再利用三角形两边之和大于第三边这一基本事实,实现不等式的证明.与常规的代数证明方法相比,几何直观没有了复杂的平方计算、繁琐的代数表示,证明过程更加简洁、思路更加清晰.

类型三:借助图像直观处理图像交点问题

函数,是描述客观事物变化规律的重要数学模型.函数性质与求导、函数恒成立问题等已成为近年来高考的热点.数形结合作为研究函数性质的重要手段,用函数图像形象地刻画函数变化规律,有助于直观把握函数单调性、最值、图像交点等性质,探索解决问题的思路.

例3: 已知函数 f(x)= |x-2|+1,g(x)= kx,若f(x)= g(x)有两个不相等的实根,求实数k的取值范围.

解: 已知f(x)=

图3

作函数f(x)的图像如图2,其中A(2,1);f(x)=g(x)有两个不相等的根 ⇐⇒ 函数f(x)与g(x)的图像有两个的交点.由图可知,当且仅当直线g(x)=kx的图像介于直线l1与l2之间,函数f(x)与g(x)的图像有两个交点.又∵直线l1的斜率直线l2的斜率k2=1,∴实数k的取值范围为

【点评】本题考察了分段函数、直线与方程等知识点.借助f(x)与g(x)的函数图像,将代数方程f(x)=g(x)的求解,转化为函数图像的交点问题;通过对图像的操作与观察,直接“看”出函数图像什么时候有交点,有几个交点.与常规的直接解方程相比,图像法求交点,免去了繁琐的参数讨论和复杂的计算过程,显得更加直观与简单.图像表示法,不仅适用于函数图像的交点问题,也广泛运用于函数的恒成立、方程解的个数等问题上.

类型四:借助图形巧解特殊函数最值问题

函数最值是函数的重要性质,贯穿整个高中数学学习.除了常规的换元法、求导法等,构图法也是处理特殊函数最值的重要手段.尤其对形如y=|x-的绝对值不等式与形如的根式不等式构图法显得更具优越性.

图4

【点评】本题考察了直线与圆的位置关系,最短距离问题等,难点在于构造图形将代数问题几何化.但如果学生能抓住函数带根号的特殊形式联想到两点间的距离公式,借助图形与坐标来直观表征代数式,那么这样一个复杂函数的值域问题就可以通过直观地图形探索与操作来解决,求解过程显得更加直观简洁.

其实,高中数学中几何直观的运用远远不止这些,我们只是希望以具体的教学实例来思考几何直观在高中代数学习中的运用.期待你对于高中数学中几何直观运用的进一步探索,也希望几何直观能真正运用于数学教学与问题解决中.

[1]孔凡哲,史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准(2011年)版》的一点认识[J].课程·教材·教法, 2012(07): 92-97.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M],北京: 人民教育出版社.2003.

[3]顾泠沅.作为教育任务的数学思想方法[M],上海: 上海教育出版社. 2009.