赵萨日娜

（吉林省经济管理干部学院，吉林长春 130000）

数学中常常会对一些重要且具有典型意义的问题进行研究并加以总结，以期通过对该问题的解决带动一类相关问题的解决，两个重要极限就体现了这样的思路，利用它们并通过函数的恒等变形与极限的运算法则就可以使两类常用的极限的计算问题得到解决。其中重要极限Ⅱ的形式及计算应用对学生来说更为复杂，难以掌握，且它在经济数学问题——连续复利问题中有重要的应用。因此利用信息化教学法组织好重要极限Ⅱ及其应用的教学，对于训练学生在动态变化的思维下理解极限过程的内在数量关系的能力，通过实际问题建立合理的抽象的数学模型的能力，以及按照目标模型进行灵活的恒等变形的能力都具有重要的意义。

1 教学背景

教学主体是经管类专业，如工商管理、财务管理专业大一新生,基本都是文科生，数学基础相对薄弱,学习兴趣有待提高。多数学生尚未养成自主学习习惯,掌握有效学习方法。学生的逻辑思维能力、恒等变形能力有待进一步开发和锻炼。

对于学习本节课的相关知识基础而言,基本了解指数函数的运算特点；理解函数极限的概念、无穷大和无穷小的概念；掌握了极限的运算律。

2 教学目标

3 教学重点

4 教学难点

5 教学方法

主要采用查表观察和看图观察方法、利用MATLAB信息化教学法、讲授法、数形结合法、启发式教学法等。

6 教学内容

6.1 提出问题

假设本金数量为A的一项投资，以年利率R投资了n年，按复利付息，若每年计算一次复利，则

一年后的本利和为A1=A(1+R)；

二年后的本利和为A2＝A(1+R)；

年后的本利和为An＝A(1+R)n.

若一年分为m次付息，年利率仍为R，则每期利率为R/m，于是

这就是说一年计算次复利的本利和比一年计算一次本利和要大，且复利计算次数越频繁,计算所得的本利和数额就越大，那么我们是不是可以计算无限次复利呢?

如果m→∞,则年后的本利和为

6.2 分析问题

按照当x→∞时函数极限的描述性定义及其几何解释,采用查表观察和看图观察方法分析问题.

表1 计算器计算结果

图1 曲线图形

6.3 解决问题

其中等式右端的数e是数学中的一个重要常数,其值为e＝2.718 281 828 459 045…,基本初等函数中的指数函数y＝ex以及自然对数函数y＝1nx中的底e就是这个常数。

至此,我们可以回答最初提出的问题,原来虽然复利计算次数越频繁,计算所得的本利和数额就越大,但是也不会无限增大,因为

所以,本金为A，按名义年利率R不断计算复利,则n年后的本利和为S＝AeRn。

上述公式称为连续复利公式,式中的n可视为连续变量,上述公式仅是一个理论公式,在实际应用中并不使用它,仅作为存期较长情况下的一种近似估计。

6.4 应用举例

（1）计算下列极限。

a.此极限为“1∞”型,也适合用来求此类极限；

因此，应用此重要极限的主要方法及步骤为：a.先判断极限类型是否为1∞；b.恒等变形套模型;c.运用重要极限结果并结合函数运算律和极限运算律求出极限值。

（2）一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和S。

解：按单利计算

S＝1000+1000×0.06×5＝1300（元）

按复利计算

S＝1000+（1+0.06）5＝1000×1.33823＝1338.23（元）

每年按4次复利

连续复利方式计算

S＝1000e0.06×5＝1000e0.3＝1349.86（元）

连续复利的计算公式在许多其它问题中也常有应用，如细胞分裂、树木增长、放射性物质的衰减等。

[1]吴赣昌.大学文科数学[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[2]梁宝钰.数学实验[M].天津：南开大学出版社,2017.

[3]麦红.Matlab在大学文科数学教学中的应用[J].电脑知识与技术,2008,4(35)：2272-2273，2285.