☉宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁

认识问题本质，追求自然解法
——一道“希望杯”全国初中数学邀请赛试题的解法及变式探究

☉宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁

《中学数学》（下）2016年第7期刊登了李玉荣老师的《自然解法“无果”，另辟蹊径“有门”》一文，讨论了第24届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第2试第22题的解法，读后受益匪浅.文中呈现了命题组给出的两种参考答案，这两种解法都是利用勾股定理列方程（组）求解，一是列出了二元二次方程组，二是列出了无理方程，正如李老师所说，这两种解法的难点显然是所列方程（组）超越了学生的能力范畴，学生难以求解.这两种解法虽然自然，却并不完美.李老师通过构造辅助圆，给出了两种解法，求解过程简洁，令人拍案叫绝，具体解法参见文1，这里从略.笔者另辟蹊径，通过从不同角度构造直角三角形，得到了五种较为自然的解法，并对试题进行变式探究，得到一系列优美的几何问题，供读者参考，不足之处，敬请读者批评指正.

一、试题及解答

试题：（第24届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第2试）如图1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等边三角形，且点C在DE上，如果AD=7，BE=11，求△ABC的面积.

图1

分析：本题涉及的基本图形是直角梯形、直角三角形和等边三角形.欲求△ABC的面积，只需求出等边三角形ABC的边长，或求出等边三角形ABC的边长的平方，或求出图形中直角三角形的斜边的长.求解这类问题的最基本的方法是利用直角三角形求解，其一，可直接在Rt△ADC和Rt△BCE中利用勾股定理列方程或方程组求解，即可得到命题组提供的求解方法；其二，可通过图形的旋转变换，将已知线段AD和BE转化到同一个直角三角形中，然后利用勾股定理或直角三角形中的边角关系求解；其三，可通过构造相似三角形，建立已知线段AD和BE与所求线段之间的关系，从而通过列方程求解.

基于以上考虑，本题有如下较为自然的解法.

解法1：如图2，将△ADC绕点C沿顺时针方向旋转60°，得到△BGC，点D的对应点为G.过点G作GM⊥BE，GN⊥DE，垂足分别为M、N.

由旋转的性质易知GB=AD=7，∠BGC=∠ADC=90°，∠DCG=60°，所以∠CGN=30°，∠BGM=30°.

图2

图3

点评：这种解法借助于图形的旋转变换，构造得到Rt△BGM、Rt△CGN及Rt△BGC，然后利用勾股定理，得到了等边△ABC的边长的平方，从而求出等边△ABC的面积.这种解法避免了求解二元二次方程组或无理方程，通俗易懂，平实自然，是一种比较完美的解法.

解法2：如图3，将△ADC绕点C沿顺时针方向旋转60°，得到△BGC，点D的对应点为G.延长GC，交BE的延长线于点F.

由旋转的性质易知GB=AD=7，∠BGC=∠ADC=90°，∠GBE=60°，所以∠GCE=120°，∠GBF=60°，∠F=30°.

在Rt△BGF中，BF=2BG=2×7=14，所以EF=BF-BE= 14-11=3.

点评：这种解法借助于图形的旋转变换，得到四边形BECG.在四边形BECG中，∠G=∠BEC=90°，∠GBE= 60°，GB=7，BE=11，根据四边形的这些特征，易想到通过延长GC与BE构造直角三角形，然后根据直角三角形的边角关系及勾股定理求解.这种解法通俗易懂，平实自然，是一种非常完美的解法，可以视为求解这类问题的通法.

基于解法2，也可将△BCE绕点C沿逆时针方向旋转60°.因此，有如下解法3.

解法3：如图4，将△BCE绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△ACG，点E的对应点为G.延长AG，交DE的延长线于点F.

由旋转的性质，易知AG=BE=11，∠AGC=∠BEC= 90°，∠GCE=60°，所以∠F=30°.

在Rt△ADF中，AF=2AD=2×7=14，所以GF=AF-AG= 14-11=3.

在Rt△ACG中，AC2=AG2+CG2=112+（）2=124.

图4

图5

解法4：如图5，BA、ED的延长线交于点G，过点C作CF⊥AB，垂足为F.

令AG=7a，则BG=11a，所以AB=11a-7a=4a.

所以AC2=16a2=124.

点评：根据已知四边形ABED的特征，易想到通过延长BA与ED构造直角三角形，为了构架等边△ABC与已构造的直角三角形之间的联系，易想到过点C作△ABC的高.这种解法通过构造直角三角形，利用相似三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识求解，通俗易懂，解法自然，对初中生而言，不失为一种好方法.

从教师的角度出发，本题有如下较为简洁的解法.

解法5：如图6，过点B作DE的平行线，交DA的延长线于点F，则△ABF是直角三角形.

图6

所以cos∠BAF=cos（120°-∠DAC）=cos120°•cos∠DAC+sin120°sin∠DAC.

二、解法探源

对于借助于图形变换或构造直角三角形求解的思路，读者可能存在困惑，认为不容易想到将图1中的△ADC绕点C沿顺时针方向旋转60°，构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系及勾股定理求解，或通过延长BA与ED构造直角三角形，然后利用相似三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识求解.其实，任何一种解法都不可能凭空想象而来，它与解题实践中积累的经验有密切的联系.一方面，试题中所给出的已知条件∠D=∠E=90°，AD=7，BE=11，在直角梯形ABED中，根据这些条件不能直接求出等边△ABC的边长或面积，对于直角三角形而言，这些条件又比较分散.由此想到，利用图形的旋转变换可以将已知条件转换到直角三角形中，然后利用勾股定理求解.另一方面，受波利亚的著作《怎样解题》一书中的“怎样解题表”的影响，笔者想起了在学习直角三角形时，求解过如下几何问题，由此也容易得出试题的解法.

如图7，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，得到Rt△ABC.已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积.

图7

解析：由已知易知∠A=30°.

在Rt△ADE中，AD=2DE=2.所以AC=AD+CD=2+2=4.

点评：本题是北师大版八年级数学教科书上的一道习题，主要考查直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法等知识.本题图形简洁，内涵丰富，蕴含着重要的思想方法.在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，CD=2，DE=1，BC是未知量.已知条件中已经反映出求解这类问题的方法，即延长CD和BE，从而得到Rt△ABC.根据勾股定理及直角三角形的边角关系，即可求得线段BC与AD的长，从而求得Rt△ABC的面积.

受本例的启发，笔者想到将图1中的已知条件∠D=∠E=90°，AD=7，BE=11，通过图形的旋转变换转换到类似于图7中的四边形BCDE中，旋转的角度与△ABC是等边三角形有关，然后通过构造直角三角形，使得问题得到圆满解决.

三、变式探究

如图1，点C在DE上，改变点C的位置，使点C在DE的延长线上，可以得到变式1.

解：如图8，将△ADC绕点C沿顺时针方向旋转60°，得到△BGC，点D的对应点为G.GC交BE于点F.

在Rt△FEC中，易求得CE=2.

在Rt△ADC中，易求得CD=7.从而可知DE=5.

基于变式1，改变图8中△ABC的形状，使△ABC是等腰三角形，且∠ACB=45°，可得变式2.

图8

图9

变式2：如图9，在梯形ABED中，∠D=∠BED=90°，点C在DE的延长线上，△ABE是等腰三角形，且∠ACB= 45°，如果AD=4，BE=5，求DE的长.

解：如图9，将△ADC绕点C沿顺时针方向旋转45°，得到△BGC，点D的对应点为G.GC交BE于点F.

由旋转的性质，易知BG=AD=4，∠BGC=∠ADC= 90°，∠GCD=45°.

点评：变式1与变式2中，改变点C的位置，使点C在DE的延长线上，其解法与试题的解法2或解法3类似，都是通过图形的旋转变换将分散的条件转换到直角三角形中，然后利用勾股定理及直角三角形的边角关系求解.

改变图1中△ABC的形状，使△ABC是等腰三角形，且∠ACB=120°，可得变式3.

变式3：如图10，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等腰三角形，且点C在DE上，∠ACB=120°，如果AD=2，BE=5，求DE的长.

解：如图10，将△ADC绕点C沿顺时针方向旋转120°，得到△GBC，点D的对应点为G.延长CG，交EB的延长线于点F.

由旋转的性质，易知GB=AD=2，∠BGC=∠ADC= 90°，∠GCD=120°，所以∠FCE=60°，∠F=30°.

在Rt△FGB中，易求得FB=2GB=4.从而可知EF=9.

在Rt△FCE中，由直角三角形的边角关系，易求得CE=3

图10

图11

点评：改变图1中△ABC的形状，使△ABC是等腰三角形，其解法与试题的解法2或解法3类似，由此可以看出，旋转变换是求解这类问题的通法.

将图1中的梯形变为矩形，可得变式4.

变式4：如图11，四边形ABCD是矩形，点E在AD上，点F在CD上，△BEF是等边三角形.如果DE=7，BC=11，求AB的长.

解法提示：如图11，将△DEF绕点F沿顺时针方向旋转60°，得到△GBF，点D的对应点为G.延长GF，交BC的延长线于点H.

由旋转的性质，易知GB=DE=7，∠BGF=∠ADC= 90°，∠GFD=60°，所以∠GFC=120°，所以∠GBH=60°，∠H=30°.

在Rt△BGH中，易求得CH=3.

说明：本题也可以通过列二元二次方程组或无理方程求解，但对初中水平的学生而言，解这样的方程（组）并不简单.因此，图形变换是解决这类问题的有效方法.

基于变式4，可得变式5.

图12

变式5：如图12，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周长.

解：如图12，将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.

由∠EAF=45°，易知∠GAF=∠EAF.

由此可知△EAF≌△GAF，从而可知EF=GF.

从而易求得△CEF的周长为2.

点评：本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的旋转变换等知识，将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°，构造△GAF，由此得出△EAF≌△GAF，从而证明EF=GF，这是解决本题的关键.通过证明可知：只要点F不与点D或点C重合，点E不与点B或点C重合，不论点E、F分别在边BC、CD上何处，只要保持∠EAF=45°，即可得到△CEF，而且它的周长是一个定值.

四、结束语

正如李玉荣老师所言：“在解题教学中，本着自然生成的原则，寻求自然解法无可厚非，但因循守旧、固步自封也会一无所获.当用自然解法受挫时，教师就必须想方设法引导学生改进自然解法，或另辟蹊径寻求其他解法，从而起到化隐为显、化难为易的解题效果，实现解题从自然到完美的蜕变和升华.”在试题的求解过程中，如果本着自然生成的原则，寻求自然解法，会出现求解二元二次方程组或无理方程的问题，这对学生而言是不小的阻力，会使求解过程半途而废.在这种情况下，需另辟蹊径，根据图形中已知条件的特征及解题实践中积累的经验，进一步认识问题的本质，从多角度入手，追求其他自然解法，从而使问题圆满解决.这不仅可以使学生对所学知识有更深层次的认识，而且可以培养学生数学思维的灵活性.

1.李玉荣.自然解法“无果”，另辟蹊径“有门”［J］.中学数学（下），2016（7）.

2.张宁.追寻本质解法变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究［J］.中学数学（下），2015（4）.

3.张宁.对一道与正方形有关的竞赛试题的变式探究［J］.中学数学（下），2016（7）.

4.张宁.一道全国初中数学竞赛试题的有关结论及变式探究［J］.数理化学习（初中版），2016（10）.

5.G·波利亚著.涂泓译.怎样解题［M］.上海：上海教育出版社，2011.