☉江苏泰州市许庄初中 叶新和

☉江苏泰州市高港教师发展中心姚娟妹

“基“”本”并重反思揭“构”
——一道教师基本功比赛题的思路探求

☉江苏泰州市许庄初中 叶新和

☉江苏泰州市高港教师发展中心姚娟妹

一、题目再现

这是近年泰州市市直学校与泰州经济开发区数学青年教师基本功比赛中的一道试题，解答的正确率只有10%.下面来探求解题思路，改进分析，揭示问题深层结构，进而对学会解题提出一些思考.

二、思路探求

1.跟着感觉往前走.

分析2：上述解答主要是代数式的变形与化简，运算量仍比较大.注意到题目要求的是三角形面积，而算得结果的形式比较简单，此时结论也是已知信息！能否从图形的角度来思考？容易想到图1，比较①与②，知：要说明S△ABC=S△EDF，由于∠A≠∠EDF，只要说明∠EDF+∠A=180°即可.此时可以通过计算说明：

图1

图2

方法2：如图2，Rt△CAG≅Rt△AFH，四边形AGJH为矩形.

则AC=AF，∠CAG=∠AFH，则∠CAG+∠FAH=90°.

又∠GAH=90°，则C、A、F三点共线.

如果省去中间的虚线，那么图形会更简明.

2.思路卡壳巧突破.

据了解，不少人能由勾股定理的形式画出图4中的△ADB与△ABC，在如何将AB、AD、BC拼成一个三角形时思路卡住了，这也是导致正确率低的重要原因.如何突破呢？

分析4：结论仍是已知信息！注意到△ADB、△ABC及拼成的△ABE面积都是ab，联想到等积变形，猜测：DC∥AB，△ABE的顶点E必在直线CD上.

图3

图4

方法4：图4中，取DC的中点E，连接AE、BE.

则∠DCA=∠BAC，则DC∥AB.又DE=CE=AB，则四边形ABED、ABCE都是平行四边形.

分析5：图4比较复杂，能否删除无关元素？注意到△AOB与△BEF面积之和为ab，并与△ABE有公共部分，利用割补来解决.

3.改变视角再探求.

分析6：题目中有隐含条件吗？xA·yA=xB·yB，这说明点A、B在反比例函数的图像上，显然有S△ADO=S△BEO，从而S△AOB=S△ADEB.

方法6：如图6，A（a，2b）、B（2a，b）为反比例函数y=的图像上两点，AD⊥y轴，BE⊥y轴.

易知S△ADO=S△BEO.

S△AOB=SADEB+S△BEO-S△ADO=SADEB

图6

图7

分析7：能否向方法3那样利用图形面积间关系？

三、反思、建议

1.“基”“本”并重.

知识为“基”.思路从何而来？丰富的知识能为思路的迅速寻找创造条件.“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”.笔者猜测，本题正确率比较低的原因之一可能是参赛者不熟悉海伦—秦九韶公式，甚至也不熟悉余弦定理，即相关基础知识并不具备.再如知S=a·ha（其中a为截线段长，ha为截线段上的高）能使本题计算简便，而利用图6中的结论S△AOB=SADEB能使后文拓展1的证明变得很简单.

思想为“本”.数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓.数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映数学思想.本题的探索中，方法3、方法5、方法6、方法7各有特色，而本质上都是“构造”，在不同的背景中构造符合条件的三角形，将欲求三角形的面积化归为其他易求图形面积间关系来解决.

知识犹如珍珠，思想似线，解题思路探索中需要以“线”穿“珠”，“基”“本”并重.

2.反思揭“构”.

“没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.

此处“构”首先指“构造”.在一步步反思中，揭示如何构造符合条件的三角形.其次，“构”更多的是指“题目深层结构”.在不断的反思与改进中不断地贴近题目的深层结构.方法6、方法7将问题放在直角坐标系中考虑，思路自然、简洁，据此还可对原题结论进行拓展与推广.

一般来说，可从以下角度进行反思：对于具体题目而言，思路卡壳是什么情况造成的，又是怎样解决的；最初的念头是否有肤浅甚至不正确处；如何通过对思路的分析与改进得到简便的解法，有效的改进做法有哪些；一般思路与特殊技巧之间的辨证关系是怎样的，怎样应用于具体问题的解决中；哪种思路揭示了题目的深层结构，能否进行拓展与推广；解题中积累的基本思维经验是什么，如何进行迁移：等等.

3.学会聪明.

文中的思路探索是笔者作为解题学习者的实践案例.聪明的老师稍做思索可能很快发现方法3或者方法7.上述过程表明即使不够聪明，也是可以通过不断地分析、回顾、反思，改进方法，学会数学地思维，换句话说，该案例表明学会聪明成为可能.由此看来，解题实践的终极目标应该是学会解题，优化认知结构，发展数学思维方式，提升数学素养，也即学会聪明.

态度影响解题.认为解题纯粹是种智能活动是错误的，决心与情绪所起的作用很重要.笔者感觉，本题正确率低的第三个原因可能是有的青年教师在解答时间限制的情况下，心有畏难情绪而放弃.

解题教学应该有“学会聪明”这个环节.丰富知识、思想方法、积极情绪、实践体验、回顾反思是能够“学会聪明”必不可少的要素.

学会聪明，应该成为解题实践的必备过程与必然结果.

1.罗增儒.中学数学教学的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

2.史宁中主编.义务教育数学课程标准（2011年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.