☉江苏如皋初级中学 秦 怡

回到概念，让解题念头“自然生成”
——从一道几何难题的思路突破说起

☉江苏如皋初级中学 秦 怡

平面几何的教学是初中的难点，也是教研热点和经典教研话题.特别是有不少几何难题，虽然平常训练很多，但是仍然有不少学生面对一个稍显陌生的几何题，难以独立获取证明思路，甚至难以找到解题念头.本文从一道武汉地区九年级月考考试题说起，研讨几何难题的思路应该怎样更加自然生成.

一、从一道几何难题的思路突破说起

考题1：（2016年12月武汉第六中学月考卷）如图1，菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB、BC上两点，且BM=CN，AN、CM所在直线相交于E.

图1

图2

（1）填空：∠AEC=________，AE、CE、DE之间的数量关系_________________；

（2）若M、N分别为线段AB、BC的延长线上两点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？试画图并证明之.

（3）若菱形边长为3，M、N分别为线段AB、BC上两点，连接BE，Q是BE的中点，求AQ的取值范围.

思路简述：（1）如图2，连接AC，可以发现△ABC、△ACD都是等边三角形.则问题可转化为经典的以等边三角形为背景的全等问题，容易证出∠AEM=60°，于是∠AEC=120°，即∠AEC=∠BAD.

接下来重点处理“AE+CE=DE”.有两个关键点，一是ED平分∠AEC；二是构造辅助线将DE分成两段，分别对应着AE、CE.

这里我们可从“四点共圆”的角度确认A、D、C、E四点共圆（对角互补的四边形四个顶点共圆），如图3.

这样，弦AD、CD相等，弧AD与弧CD相等，于是所对的圆周角∠AED=∠CED，从而确认∠AED=∠CED=60°.接着如图4所示分析，构造等边△AEG，可证△AGD≌△AEC，可得EC=GD，问题获得突破.

图3

图4

另解思考：可以发现，ED是∠AEC的平分线，我们还可构造图5这样的图形来发现思路，作DG⊥MC，DH⊥AN，垂足分别为G、H.需要用到∠DAE+∠DCM=180°（四边形ADCE的对角互补），可证出△ADH≌△CDG，从而有DG=DH，于是可证出ED平分∠AEC.

图5

图6

第（2）问，构造图形之后（如图6），发现结论不再成立，但是怎样的新关系呢？

由△ACN≌△CBM，得∠M=∠N，所以∠MBC=∠CEN，所以∠ABC=∠AEC.又∠ABC+∠BAD=180°，所以∠AEC+∠BAD=180°，在EA上截取EG=CE，则△CEG为等边三角形，再证△AGC≌△DEC，所以AG=DE，即AE=EG+AG=CE+DE.

现在进入第（3）问的探究，这是一个难题.成功突破需要以下一些关键步骤.

关键步骤之一：想清楚点E的轨迹是△ACD的外接圆上一段圆弧（在前两问的研究中，我们知道了点A、B、C、E共圆，理由是四边形ABCE的对角互补）.

关键步骤之二：想清楚点Q的轨迹是△ABC的内切圆上一段圆弧（如图7）.

图7

二、同类题链接

考题2：（2014年浙江金华中考题）如图8，等边三角形ABC的边长为6，在AC、BC边上各取一点E、F，连接AF、BE相交于点P.

（1）若AE=CF，

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP·AF的值.

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.

思路简述：第（1）问比较简单，这里略去思路；第（2）问需要分两种情况讨论，

若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况.

图8

图9

图10

三、解题教学思考

1.“轨迹考题”很流行，值得教师关注.

当前在不少地区命题的试卷中，都会在把关题的位置设计一道动点轨迹问题，稍简单轨迹以线段为主，而有些较难的则是圆弧，甚至还有函数图像的引入.这类考题一旦“上卷”，“杀伤力”极大，多数学生只得放弃，少数学生挑战失败的原因往往也是因为对于轨迹图形的形状没有认准，或有些猜想到可能的轨迹形状，但是因为认识还不深刻，所以求解轨迹图形的相应长度、最值时出现错漏.这类问题且不论是否值得、应该出现在考卷中，至少在当下较为流行的现实下，作为教师，应该对这一流行潮保持关注，毕竟这类考题关乎一些优秀学生的眼前利益.我们针对这类考题的研究不能止于猜想出答案，或简单的答案式展示，而应深入开展轨迹考题的思考，洞察问题结构，想清问题的关键与可能的拓展与变式.

2.几何难题重在思路启发，引导“回到概念”获得解题念头.

几何难题教学时，首先教师要深刻理解问题结构和可能变式，讲评试题时才可能开展必要的思路启发，以便能在思路启发下，引导学生“回到概念”获得解题念头，自主贯通思路，而不是教师把答案或证明语句告知.比如，考题1的难点就是发现两个圆，而这两个圆的念头源于九年级教材中圆的重要概念，经过不在同一直线上的三个点确定一个圆.而一个特殊三角形（如等边三角形、直角三角形）的外接圆都是学生应该掌握的，本题出现了等边三角形，学生可以敏锐地捕捉这个有效信息，发现“四点共圆”.以下给出我们预设“考题1”第（3）问的PPT截图（如图11），意图是把两个难点以教师点拨的方式展示，但又要促进学生自主确认，而不是简单告知，学生自主确认这两个圆的过程就是对问题本质的深刻理解和解题策略的内化.

图11

3.重视同类问题的链接，促进学生感悟问题结构.

在一较难问题讲评之后，如果不能引导学生跟进必要的反思，常常会“入宝山而空返”.这也是上面我们在呈现这道几何难题的解法之后，又链接一道同类考题的原因.正如不少经验丰富的教师在解题教学时总会自觉定位教学目标：“解一题，会一类，通一片”，让学生由此及彼，并感悟出同类问题的深层结构，使得学生下次再碰到类似问题时能快速找到切入点，顺利贯通思路，提升解题能力的同时，发展数学洞察力.

1.陈蓓蓓.例说几何定理教学的层次——由傅种孙先生数学教育思想说起［J］.中学数学（下），2016（12）.

2.朱金祥，刘东升.数学教学中例题变式的策略——基于教学追问的视角［J］.教育研究与评论（中学教育教学版），2016（9）.

3.王友峰.专业自主增设内容，回看陈题洞察结构——九年级“探究四点共圆”教学设计与解读［J］.中学数学（下），2016（12）.