☉甘肃省酒泉第四中学 徐玉庆

数学教材研究的评述与探索

☉甘肃省酒泉第四中学 徐玉庆

一、研究背景

随着国际间数学教育的不断融合，数学教材研究作为数学教育的一个分支不断受到国内外学者和一线教师的关注.数学教材研究已经成为国际数学教育研究的热点问题，2004年7月5日至11日，第十届国际数学教育大会（ICME-10）在哥本哈根举行，中国参加人数为历年最多，约为77人，大会分为“课题研究组”（topic study group，简记为TSG）与“讨论组”（discussion group，简记为DG），其中“讨论组”第14个主题就是：数学教材.2012年7月8日至15日，第十二届国际数学大会（ICME-12）在韩国首尔COEX会议中心举行，第32课题研究组主要对各国教材的内容进行了比较，特别是对中国、新加坡、美国的教材进行了比较.

2014年7月29～31日，首届国际数学教材研究和发展会议（International Conference on Mathematics Text Research and Development 2014，简称ICMT2014），在英国南安普顿大学成功举办，会议由英国南安普顿大学数学教育首席教授、数学和科学教育研究中心主任范良火担任主席，中国大陆也派了代表参加，大会收集了共计一百多篇文章.在此次大会上，各国的专家和教授对教材的研究和发展方向做了各自的论述，美国乔治亚大学Jeremy Kilpatrick教授从教材的发展历史，从泥板到现在的平板电脑，已有的教材的不同特点进行了大量的研究，指出对于不同区域和群体之间使用教材有何差别研究相对较少.大会分析了未来教材研究的趋势，动态的电子教材必然成为教材研究发展的趋势.从以上对数学教材研究的综述发现，数学教材的发展也已经从传统的纸质教材向动态的电子教材发展，数学教材研究得到了世界各个国家的高度重视，数学教材研究已经走上一条快速的发展之路.本文希望从数学教材研究的哲学基础、理论框架、研究方法三个方面形成一种数学教材研究的范式.

二、数学教材研究的范式

美国著名科学哲学家托马斯·库恩（Thomas Samuel Kuhn）在《科学革命的结构》中提出”范式”.“范式”（paradigm）是指某一科学集团的共同信念，这种信念规定了他们所共同的基本理论、基本观点和基本方法.美国社会学家乔治·瑞泽尔（GeorgeRitzer）认为：“范式是存在于某一科学领域内关于研究对象的基本意向.它可以用来界定什么应该被研究、什么问题应该被提出、如何对问题进行质疑，以及在解释我们获得的答案时该遵循什么样的规则”.根据乔治·瑞泽尔对范式的研究，在以后的研究过程中，许多学者将“范式”引入教育研究，逐渐建立了教育研究的“范式”.

那么数学教材研究的范式是什么？数学教材研究的范式就是在某一个时代，数学教材研究者们关于数学教材研究所具有的共同核心观念、思维框架和信念.所以数学教材研究具有时代性，它是一个时代的数学文化结晶，也是一个时代数学文化的内涵与规律.

因此，我们需要建立一个“框架”来阐释数学教材研究的范式，我们选择以下三个维度进行说明：

（1）数学教材研究的哲学基础；

（2）数学教材研究的理论框架；

（3）数学教材研究的研究方法.

以上三个维度从研究的指导思想、框架结构、实际操作深刻地说明了教材研究的内涵.

三、数学教材研究的哲学基础

哲学作为一种解释世界变化和运动的学科，是所有学科在思维层次的最高指导.数学教材不仅是一种知识的载体，它更是人类文化和知识的结晶，是人类思想的流传，是人类经验的表述.教材研究首先要解决的哲学问题是：（1）什么是数学教材？这是要回答的最基本的问题，即解决是什么的问题；（2）为什么要进行数学教材方面的研究？即解决为什么的问题；（3）应该怎样进行数学教材研究？即方法论的问题.

数学知识的发展过程是人类思维的认知过程，数学教材作为数学思维和经验的载体，在中学生认知发展过程中有着举足轻重的作用，数学教材基本上伴随着学生的青少年时期，对青少年的思维认知有着深刻的影响.所以认识论是数学教材研究的哲学基础，其主要研究知识的本质和来源、知识的构建和界限、知识的确定性和或然性，以及知识与信仰的区别.认识论以客观世界作为认识的来源，认为客观世界是可以认知的.数学教材作为人类认知的结晶，教材内容所包含的知识信息必须是通过学生已有的知识结构能够认知的.

社会建构主义的数学哲学系认为规则和约定对数学的真理性和确定性起着关键的作用，它又汲取了拟经验主义的观点，认为数学知识是不断发展和变化着的，是易谬的，数学知识在证明与反驳中得到发展.而关于数学知识的社会建构性质，欧内斯特提出了以下三点根据：（1）数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言知识是一种社会建构；（2）个人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识，这需要社会性的交往与交流；（3）客观性本身应该理解为社会性的认同.进而，围绕客观知识、主观知识及其相互关系，运用现象学的描述性方法，欧内斯特构建起社会建构主义数学哲学的理论框架，所以建构主义和认知论是数学教材研究的哲学基础.在认识论和建构主义的发展过程中，许多哲学流派讨论怎样的知识最有价值，因为学校教育的时间和空间的限制，所以学校教育对于社会价值是有一定选择性的，这主要体现在数学教材内容的选择上，所以学校教育也是一种社会价值的选择，具体体现在数学教材内容的选择上，所以价值论也是数学教材研究的哲学基础，它是社会文化与数学教材之间的一种复杂关系，这种关系随着时代的发展也发生着不同的变化.以往的研究都是将数学教材作为一种单纯知识的载体，研究数学教材内容本身的呈现特点和难易程度，并没有把数学教材内容作为认识的来源，深入研究知识作为载体对于学生的认知水平和认知心理有着怎样的影响和变化.许多关于教材研究的文章都是对教材内容的分析，而不去关注教材内容作为一种变量对于学生生理和心理的影响，也不去关注教材内容在学生认识过程中的变化和规律.新课程标准中明确提出：“义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础”，所以教材内容的选择，也是一种社会价值论的体现，数学教材内容也是一种潜在价值的传递，也是社会文化影响的结果.

四、数学教材研究的理论框架

国内外学者对于数学教材的文本内容进行了大量的研究，史宁中教授利用课程难度模型对不同时期的课程标准进行深入研究，鲍建生利用习题综合难度对中、英两国初中数学教材中的习题进行了比较研究，范良火对中国和美国的数学教材内容进行了比较研究.同时对于数学教材的非文本内容也进行了深入研究，2012年Ewha Womans University（韩国梨花女子大学）的Rae Young Kim在对已有研究的基础上对非文本内容数学教材中的应用和作用作了深入的研究，对非文本内容在精确度、关联度、情境性、简洁性四个方面进行了细致的划分，深入地解释了非文本内容在数学教材中发挥的作用.下面是Rae Young Kim对于非文本内容的划分.

非文本内容是指在教材内容中所涉及的图片、插图、图标及数学内容和图表相结合的内容.其目的是学生更好地理解教材中的概念和定义，同时也是帮助学生解决问题的一种辅助材料.

1.非文本内容的精确度.

就是指非文本内容如何恰当地利用数学方式来表示数学概念和数学思想.如果教材中的非文本内容没有清楚的表达，将会导致学生的误解和迷惑.图1和图2是非文本内容的精确度的两个例子.它们表示了数学知识在现实生活的真实例子，但是它们具有不同的精确度水平，研究表明：图1中不精确的内容可能误导学生对于两条平行线的理解，图2则精确地表示了角的定义，有利于学生对于角的定义的理解.

图1：精确度水平较低的图片

图2：精确度水平较高的图片

2.非文本内容的关联度.

它是指非文本因素和教材中的数学内容之间关系的相近程度.如果教材内容和这些可视的、图形的内容能够很好地吻合，将进一步促进学生对教材内容的理解.通过已有研究发现，图形对于能力较低的学生理解教材内容是有很大帮助的，当他们对于教材中文本内容的理解出现问题时，可以通过观察和研究相关的非文本内容进行理解，这样文本、非文本的结合可以在很大程度上帮助他们理解数学内容.图3表示非文本内容的相关性的一个例子，滑雪研究者的结果表明雪崩和小山的坡度有关系，但是图3中的滑雪者不能很好地和教材中坡度的有关知识相联结，而红色的小山很好地表示了坡度的概念，而且直观形象.根据研究表明，图3中滑雪者的姿势可能误导学生对于坡度的理解，学生可能会认为坡度和小山的表面有关.

图3：关联度水平不同的图片

3.非文本内容的情境性.

它是指数学内容在现实生活中的应用，在实际教学中发现学生的数学经验对于学生进一步学习数学是非常重要的，已有研究表明，非文本内容可以帮助学生建构他们的数学理解过程，加快他们对于数学内容的理解和认知.图4中（1）并不能直观地表示出数学概念，而图4中（2）则能很好地将现实生活和数学知识相联系，可以很好地帮助学生理解角的概念，而图4中（3）则表示没有相关性.

图4：情境性水平不同图

4.非文本内容的简洁性.

非文本因素所涉及的概念中没有过多的赘述，而是简明整齐的.非文本内容还有太多的细节和复杂的结构，将会降低学生对它的兴趣.如图5（1）所示，学生很容易能够将注意力集中在这条函数图形上，而图5（2）图形较多，学生不能很快判断那条函数图像是要研究的对象，所以图5（1）比5（2）更具有简明性.

图5：简洁性水平不同的图片

由以上问题的研究，产生了一个新的基于问题的框架结构，如图6和表1所示.

图6：数学教材研究的框架结构

由图6和表1所示的框架结构可以发现，数学教材可以分为两个部分：文本内容和非文本内容，文本内容主要针对数学教材中涉及的问题而界定，问题本身又具有非文本内容的四种特性，它们之间相互联系和融合.

表1：数学教材内容涉及的问题

上述框架结构将数学教材中的数学问题作为研究的对象，但是数学教材并不是单纯的数学问题的集合，数学教材受到自身的价值文化和社会环境的影响，同时数学教材也对社会产生影响.数学教材更是以一种静态的知识理论来呈现动态的社会变化，是与社会背景和文化环境的一种双向传递，是知识与价值的双重载体.

数学教材的内容选取方面也需要进一步研究，高等数学内容的不断下移，对中学数学教材的内容提出了新的挑战.数学教材中知识内容的呈现方式对于学生建构数学知识有着怎样的影响？数学教材中代数内容与几何内容安排是否有更有效的方式？如何通过数学教材体现数学的价值性？学生如何更加有效地使用教材？教材内容是否可以增设学生如何使用教材的方法指导？教材内容是否有配套的网络课程供学生自主学习？这些都是需要进一步深入研究的问题.

五、数学教材研究的方法

2003年Nicholls指出，数学教材研究缺乏一般的研究方法，特别是在教材分析和教材比较方面，需要发展系统的研究框架和研究工具.

国内外学者在数学教材比较方面作了大量的研究，特别是发达国家间数学教材的比较研究，如北师大教授曹一鸣对中、奥、美、英、法、德、韩、新、日与俄等10个国家的初中数学教材进行了比较，主要利用难度模型进行例题与习题的难度分析，对所收集的数据进行定量分析，取得了一定的研究成果.范良火对中国大陆、新加坡和美国数学教材中问题表征和问题解决进行了深入研究，从而发现在东西方两种不同的文化体系中数学教材是如何选择的，数学课程受到哪些环境因素的影响.

2013年范良火在ZDM Mathematics Education（数学教育）中提出了数学教材研究的范式变革，认为目前数学教材研究的方法主要是对于教材内容经验的总结和讨论，教材研究主要是利用教材内容和收集的数据进行文本分析，而这种研究方法已经具有长久的历史.在教材研究中缺乏实验研究，特别是在教材比较方面，虽然在某些方面取得了一定的进步，但是在科学的研究方法方面仍然存在巨大的挑战.

数学教育的研究方法从17世纪夸美纽斯的教学研究开始，经历了自然科学的实证研究，到20世纪初出现的包涵人文主义情怀的质性研究，到现在的多种研究方法的互相批判和融合.数学教材也随着社会和经济的不断发展发生着变化，各个国家都进行了数学课程改革，国内也出现了依据课程标准编写的不同版本的数学教材，这些教材虽然在主体知识和结构上基本一致，但是也反映了不同地域的环境和文化对数学教材的影响，反映了不同教材制定者对于课程标准的理解，不同的视野对于教材的影响反映了不同的编写理念，这势必对教学一线的教师和学生提出了不同的要求，对教师和学生的数学修养和数学素养提出了挑战.因此，数学教材研究将是数学教育的重要领域，数学教材研究方法的不断建立和规范也是数学教育研究方法领域的重点研究课题，需要建立更具一般性的研究方法，这将是未来数学教材研究的趋势.

六、结论

本文通过对数学教材研究的哲学基础、理论框架、研究方法三个方面的综述和论述，希望建立一种数学教材研究的范式，但是，数学教材研究的范式并不是完全确定和唯一的，研究范式也是有着时代背景和文化差异的，数学教材研究既要有科学的定量研究，也要有定性的人文关怀，这种定量与定性的结合将是数学教材研究范式的趋向，坚持把科学研究同哲学分析结合起来，使事实与价值在研究上获得一致.同时20世纪80年代兴起的复杂范式，这种范式更加关注研究对象的无序的、偶然的、非线性的因素，更加注重研究对象的丰富性和复杂性，这种研究范式的兴起也是基于教育本身是一个复杂的系统，而数学教材则是更好地为人类社会的发展和进步所服务的，所以数学教材是社会环境和历史文化的一部分，更应该把数学教材看成一种变量，研究其他因素对数学教材的影响，数学教材在自身的发展过程中也对社会文化产生一定影响，这是一种历史的、社会化的、双向的发展.

随着社会经济的不断发展，教育研究的范式也新旧更替，这种更替既是人类解释自然的逻辑知识体系的更换，又是科学共同体成员价值观念的更换，文化的多元化导致研究方法的多元化，研究方法的多元化让研究者从不同的角度去审视所研究的对象，让我们对身边熟悉的事物有了全新的认识，这种全新的高速的变化将会对数学教材研究的范式产生深远的影响.

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